Formula di Bretschneider

Un quadrilatero.

In geometria, la formula di Bretschneider per il calcolo dell'area di un quadrilatero corrisponde alla seguente espressione:

Dove a, b, c, d sono i lati del quadrilatero, p è il semiperimetro, e sono i due angoli opposti.

La scoperta di tale formula si deve al matematico tedesco Carl Anton Bretschneider nel 1842. La formula di Bretschneider funziona per ogni quadrilatero, a prescindere dal fatto che esso sia ciclico o meno.

DimostrazioneModifica

Indichiamo con A l'area del quadrilatero. Allora abbiamo

 

Perciò

 

Il teorema del coseno implica che

 

poiché entrambi i lati sono uguali al quadrato della lunghezza della diagonale BD. Ciò può essere riscritto nella forma

 

Sostituendo questo nella formula di sopra per  , si ottiene

 

Questo può essere scritto come

 

Introducendo il semiperimetro

 

la formula sopra diventa

 

da cui segue la formula di Bretschneider.

Formule affiniModifica

La formula di Bretschneider generalizza la formula di Brahmagupta per l'area di un quadrilatero ciclico, la quale a sua volta generalizza la formula di Erone per l'area di un triangolo. Si nota infatti che, per un quadrilatero ciclico, l'argomento del coseno è  , quindi il coseno è nullo e il secondo termine del radicando scompare.

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