Quadrilatero ciclico

In geometria, un quadrilatero ciclico è un quadrilatero i cui vertici giacciono tutti sulla stessa circonferenza.

Quadrilateri ciclici.

In un quadrilatero ciclico, gli angoli opposti sono supplementari (la loro somma è π radianti). Equivalentemente, ogni angolo esterno è uguale all'angolo interno opposto.

L'area di un quadrilatero ciclico è data dalla formula di Brahmagupta fintanto che i lati sono noti. Quest'area è massima tra tutti i quadrilateri quando i lati sono tutti uguali (il quadrato).

Il teorema di Tolomeo esprime il prodotto delle lunghezze delle due diagonali di un quadrilatero ciclico come la somma dei prodotti dei lati opposti. In ogni quadrilatero convesso, le due diagonali dividono il quadrilatero in quattro triangoli; in un quadrilatero ciclico, le coppie opposte di questi quattro triangoli sono simili tra loro.

Caratterizzazioni

Ogni quadrato, rettangolo, o trapezio isoscele è ciclico.

Un aquilone è ciclico se e solo se ha due angoli retti.

Un quadrilatero è ciclico se e solo se gli angoli opposti sono supplementari.

Un quadrilatero $ABCD$ è ciclico se e solo se:

${\widehat {BAC}}\cong {\widehat {BDC}}$, oppure

${\widehat {ADB}}\cong {\widehat {ACB}}$, oppure

${\widehat {DCA}}\cong {\widehat {DBA}}$, oppure

${\widehat {CBD}}\cong {\widehat {CAD}}$.

Voci correlate

• Circumcerchio
• Formula di Brahmagupta

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• Wikimedia Commons

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Quadrilatero ciclico, su MathWorld, Wolfram Research.
• Book 3, Proposition 22 of Euclid's Elements (inglese)
• Cyclic quadrilateral theorem by Antonio Gutierrez from "Geometry Step by Step from the Land of the Incas". (inglese)
• Incenters in Cyclic Quadrilateral at cut-the-knot (inglese)
• Four Concurrent Lines in a Cyclic Quadrilateral at cut-the-knot (inglese)