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Formula di Klein–Nishina

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In elettrodinamica quantistica, la formula di Klein–Nishina[1] fornisce la sezione d'urto differenziale della diffusione di un fotone da un elettrone libero (scattering Compton) al più basso ordine di approssimazione () in termini della costante di struttura fine. Nel limite di bassa frequenza, si ritrova la sezione d'urto dello scattering Thomson.

Tale sezione d'urto vale

dove è la frequenza del fotone incidente, quella di quello emesso e la costante di struttura fine

Il valore di si ricava dalla cinematica dello scattering Compton e vale

DerivazioneModifica

Consideriamo il processo di diffusione di un fotone da parte di un elettrone inizialmente fermo. Al primo ordine di approssimazione, il processo è descritto dai diagrammi di Feynman

 

Dalle regole di Feynman dell'elettrodinamica quantistica, considerando:

  • un fotone entrante di quadrimomento  , polarizzazione  
  • un elettrone fermo nello stato iniziale di quadrimomento  , spin  
  • un fotone uscente di quadrimomento  , polarizzazione  
  • un elettrone uscente di quadrimomento  , spin  
  • il propagatore fermionico  

e il processo analogo in cui si scambia il momento del fotone incidente  

tenendo conto della cinematica per cui   e  

si ottiene l'elemento di matrice

 

Sfruttando le proprietà dei polarizzatori, per cui   se   non ha componente spaziale mentre   sulle polarizzazioni fisiche, si può semplificare quest'espressione fino ad ottenere

 

dove  

Per il calcolo della sezione d'urto è quindi necessario calcolare il quadrato dell'elemento di matrice mediato sulle polarizzazioni e sugli spin. Si otterrà quindi

 

Sfruttando la relazione

 

abbiamo

 

Ora,  

Rimane da svolgere la media sulle polarizzazioni. Per farlo è necessario sfruttare l'uguaglianza

 

da cui, tenendo conto che dalla cinematica abbiamo

 

e quindi ( )

 

otteniamo infine

 

La sezione d'urto si ricava applicando la formula generale

 

Ora,   mentre, eliminando l'integrazione in   attraverso la delta di Dirac e scomponendo quella in   nella parte radiale e angolare otteniamo finalmente

 

e quindi, essendo il   che risolve l'equazione nella delta di Dirac quello corrispondente alla conservazione dell'energia, ovvero

 

si trova, effettuando le opportune sostituzioni, la formula di Klein-Nishina.

Limite di bassa frequenzaModifica

Per fotoni di bassa frequenza, ovvero nel limite non relativistico, abbiamo   e quindi  . In questo caso la formula di Klein-Nishina diventa

 

dove   è la lunghezza Compton dell'elettrone.

NoteModifica

Voci correlateModifica

FontiModifica

  • (EN) Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov, Dmitrij Vasil'evič Širkov, Introduction to the theory of quantized fields, traduzione di G. M. Volkoff, New York, Interscience Publishers, 1959 [1957], pp. 275-279.