Formula di Wilson-Sommerfeld

Orbite ellittiche con la stessa energia e momento angolare quantizzato

La formula di Wilson-Sommerfeld ha rappresentato un tentativo di miglioramento del modello dell'atomo di Bohr, portando alla definizione di un modello detto Bohr-Sommerfeld.

DescrizioneModifica

In questo modello si ipotizzava che gli elettroni viaggiassero intorno al nucleo in orbite ellittiche a differenza del modello di Bohr originale che ipotizzava orbite circolari. Per completare l'ipotesi, il modello Bohr-Sommerfeld contemplava un'aggiunta al vincolo sulla quantizzazione del momento angolare con un'addizionale vincolo di quantizzazione del raggio determinato attraverso la "formula di vincolo della quantizzazione Wilson-Sommerfeld": l'azione ridotta sull'orbita vale

 

dove   è il momento,   rappresenta il differenziale della generica funzione coordinata  ,   ed   è la costante di Planck.

Il modello attuale dell'atomo, noto come modello atomico ad orbitali, non avrebbe potuto essere formulato senza i modelli precedenti derivati dalle ipotesi di Bohr.

EsempiModifica

Dalla formula di Wilson-Sommerfeld si può riottenere banalmente la quantizzazione del momento angolare:

 

La funzione periodica del tempo è in questo caso  :

 

ovvero

 

con  .

In modo simile, dalla regola precedente si può riottenere anche la legge di quantizzazione dell'energia di Planck  . Infatti, per un oscillatore armonico unidimensionale l'energia totale può essere scritta in termini di momento e posizione come

 

oppure

 

dove  è la costante elastica della molla. In questo modo, l'integrale della formula di quantizzazione di Wilson-Sommerfeld può essere valutato molto più semplicemente; l'equazione precedente rappresenta infatti un'ellisse di semiassi   ed   nello spazio delle fasi x-px. Dunque:

 

Ma   è banalmente la frequenza dell'oscillazione, da cui segue che

 

ovvero la legge di quantizzazione dell'energia proposta da Planck.

BibliografiaModifica

  • R. Eisberg, R. Resnick. Quantum Physics (of atoms, molecules, solids, nuclei and particles). Seconda Edizione, 1985

Voci correlateModifica

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