In matematica, più precisamente nell'ambito della teoria della misura, la formula di coarea permette di calcolare l'integrale del gradiente di una funzione in termini dell'integrale dei suoi insiemi di livello. Tale formula viene spesso utilizzata per problemi isoperimetrici.

Enunciato

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È possibile enunciare due versioni per la formula di coarea.

Prima versione

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Indicando con   la misura di Hausdorff (n-1)-dimensionale allora, se   è una funzione lipschitziana e   un insieme misurabile, vale la formula:

 

Seconda versione

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È possibile dare un'altra versione della formula di coarea, nella quale al primo membro compare anche un'altra funzione   non negativa e misurabile. Sia   Lipschitziana e sia   un insieme misurabile. Sia inoltre   una funzione misurabile. Allora vale la formula:

 

Applicazioni

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Spesso la formula di coarea viene utilizzata nella sua seconda versione per il calcolo di un integrale di una funzione a simmetria radiale. Infatti, per calcolare l'integrale di  , scegliendo   si ottiene:

 

dove   è la palla centrata nell'origine di raggio  .

Viene anche utilizzata per dimostrare la disuguaglianza di Pólya-Szegő.

Bibliografia

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  • (EN) Ambrosio, Fusco, Pallara, Function of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems, Oxford University Press, 2000.
  • (EN) Fleming, WH; Rishel, R (1960), "An integral formula for the total gradient variation", Archiv der Mathematik 11 (1): 218–222, doi:10.1007/BF01236935
  • (EN) Malý, J; Swanson, D; Ziemer, W (2002), "The co-area formula for Sobolev mappings", Transactions of the American Mathematical Society 355 (2): 477–492, doi:10.1090/S0002-9947-02-03091-X.

Voci correlate

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