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Nota disambigua.svg Disambiguazione – "Gradiente" rimanda qui. Se stai cercando altri significati, vedi Gradiente (disambigua).

Nel calcolo differenziale vettoriale, il gradiente di una funzione a valori reali (ovvero di un campo scalare) è una funzione vettoriale. Il gradiente di una funzione è spesso definito come il vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione, anche se questo vale solo se si utilizzano coordinate cartesiane ortonormali. In generale, il gradiente di una funzione , denotato con (il simbolo si legge nabla), è definito in ciascun punto dalla seguente relazione: per un qualunque vettore , il prodotto scalare dà il valore della derivata direzionale di rispetto a .

In fisica, il gradiente di una grandezza scalare si usa per descrivere come quest'ultima vari in funzione dei suoi diversi parametri. Ad esempio, si parla di gradiente termico per esprimere la variazione della temperatura lungo una direzione scelta, o di gradiente di pressione, analogamente, per esprimere la variazione della pressione lungo una particolare direzione.

Indice

DefinizioneModifica

 
Esempio di gradiente di una funzione  .

Solitamente si definisce l'operatore gradiente per funzioni scalari di tre variabili  , anche se la definizione può essere estesa a funzioni in uno spazio euclideo di dimensione arbitraria. Il gradiente di   è un campo vettoriale che in ogni punto dello spazio consente di calcolare la derivata direzionale di   nella direzione di un generico vettore   tramite il prodotto scalare tra   e il gradiente della funzione nel punto.

 
Campo vettoriale del gradiente di due funzioni visualizzate mediante la densità della colorazione: il nero via via più intenso rappresenta valori via via più alti assunti dalle funzioni i quali scaturiscono dall'andamento del gradiente raffigurato dalle frecce azzurre.

Nel caso di un sistema di riferimento cartesiano ortonormale il gradiente di   è il vettore che ha per componenti le derivate parziali prime calcolate nel punto:

 

dove  ,   e   sono i versori lungo gli assi.

Dal momento che l'operatore gradiente associa a un punto dello spazio un vettore, il gradiente di una funzione differenziabile scalare   su   è un campo vettoriale che associa a ogni   il vettore  .

Un campo gradiente è conservativo, cioè non si ha dissipazione di energia (il lavoro compiuto lungo una linea chiusa è sempre nullo). Infatti, se si calcola l'integrale di linea lungo una qualunque curva   che sia chiusa, cioè tale che   si ottiene:

 

Inoltre, le linee di flusso di un campo gradiente associato a una funzione scalare   sono ovunque ortogonali alle superfici di livello di  , cioè alle ipersuperfici date dall'equazione cartesiana   al variare di  . Infatti, i vettori tangenti alle linee di flusso sono dati da  : si consideri allora un generico vettore   tangente a una superficie di livello in un punto  , e sia   una curva tale che  , che giace interamente su una superficie di livello e tale che il vettore tangente alla curva in   è  . Dato che   è su una superficie di livello allora  , cioè derivando si ha  .

I vettori   e   sono allora ortogonali e l'affermazione da verificare segue per l'arbitrarietà di   e  . La derivata direzionale di una funzione in un dato punto di   rappresenta poi il valore numerico dato dal limite del rapporto fra la variazione che essa subisce a partire dal punto per uno spostamento lungo la direzione e verso individuata dal versore rispetto a cui si deriva e lo spostamento medesimo al tendere a zero di quest'ultimo e risulta perciò positiva se   è crescente lungo tale verso a partire da punto considerato, negativa o nulla in caso contrario; d'altra parte la derivata direzionale del gradiente, proprio per il suo legame col prodotto scalare, è massima (e positiva) lungo il versore che lo individua (proprio come il prodotto scalare di un vettore per un versore è massimo e positivo quando il versore ha la direzione e verso del vettore). Il gradiente è dunque normale alle superfici di livello e diretto nel verso dei livelli crescenti; esso risulta irrotazionale anche se non sempre vale il viceversa a meno che l'insieme su cui il campo è definito sia semplicemente connesso.

Varietà riemannianeModifica

Per una funzione liscia   definita su una varietà riemanniana   il gradiente è il campo vettoriale   tale che per un qualsiasi campo vettoriale   si ha:

 

dove   indica il prodotto interno (definito dalla metrica  ) tra vettori tangenti la varietà nel punto  , mentre   è la funzione che a ogni punto   associa la derivata direzionale di   nella direzione   valutata in  .

In modo equivalente, data una carta   definita su un aperto in   a valori in  , la funzione   è data da:

 

dove   è la j-esima componente di   nella carta considerata. Quindi la forma locale del gradiente è:

 

Generalizzando il caso  , il gradiente di una funzione si relaziona con la sua derivata esterna nel seguente modo:

 

Si tratta di un caso particolare (quello in cui la metrica   è quella "piatta" data dal prodotto interno) della seguente definizione. Il gradiente   è il campo vettoriale associato alla 1-forma differenziale   usando l'isomorfismo musicale:

 

definito dalla metrica  .

Approssimazione lineare di una funzioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Differenziale (matematica) e Approssimazione lineare.

Il gradiente di una funzione   in ogni punto   caratterizza la miglior approssimazione lineare di   nel punto:

 

per   vicino a  , con   il gradiente di   calcolato in  . Tale espressione è equivalente all'espansione in serie di Taylor di una funzione di più variabili in  .

La migliore approssimazione lineare a una funzione   in   è una mappa lineare da   in   detta differenziale o derivata totale di   in  , e denotata con  . Il gradiente è legato al differenziale dalla relazione:

 

La funzione   che mappa   in   è anche detta differenziale o derivata esterna, e si tratta di una 1-forma differenziale.

Gradiente in diversi sistemi di coordinateModifica

Coordinate polariModifica

 
Coordinate polari

In   si possono introdurre altri sistemi di riferimento, come quello polare:

 

dove   rappresenta la coordinata radiale e   la coordinata angolare. Per calcolare il gradiente di una funzione   è sufficiente eseguire la trasformazione:

 .

Ricordando che:

 

si ottengono le seguenti derivate:

 
 
 
 

scrivendo i vettori della base cartesiana come:

 
 

e sostituendo le espressioni trovate nell'equazione del gradiente si ha:

 

Perciò, semplificando, il gradiente in coordinate polari diventa il vettore:

 

Coordinate sfericheModifica

 
Coordinate sferiche

In   si possono utilizzare le coordinate sferiche:

 

Seguendo il procedimento introdotto per le coordinate polari piane, il gradiente in coordinate sferiche diventa il vettore:

 

Gradiente in coordinate cilindricheModifica

 
Coordinate cilindriche

In coordinate cilindriche:

 

seguendo il procedimento introdotto per le coordinate polari piane, il gradiente diventa il vettore:

 

Coordinate curvilineeModifica

In coordinate curvilinee ortogonali, quando la metrica è data da  , il gradiente   di   in un punto è il vettore:

 

dove   e con   si indica il versore della direzione  -esima (con tutti gli elementi nulli tranne l' -esimo che vale 1).

Se il sistema è bidimensionale e le coordinate sono curvilinee qualunque  , il gradiente della funzione   diventa:

 

dove  ,   e   sono le entrate del tensore metrico  . Infatti, siccome il gradiente può essere espresso come   (con   e   da determinare), il differenziale della funzione in tale sistema diventa

 .

Risolvendo quindi il sistema

 

e ricordando che   (con   angolo tra le due direzioni), risulta dimostrato l'asserto iniziale.

BibliografiaModifica

  • (EN) W. Kaplan, The Gradient Field §3.3 in Advanced Calculus, 4ª ed., Reading, Addison-Wesley, 1991, pp. 183–185.
  • (EN) P. M. Morse e H. Feshbach, The Gradient in Methods of Theoretical Physics Part I, New York, McGraw-Hill, 1953, pp. 31–32.
  • (EN) H. M. Schey, Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, 3ª ed., New York, W. W. Norton, 1997.

Voci correlateModifica

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