Frequenza di Brunt-Väisälä

Nel campo della dinamica atmosferica, oceanografia e geofisica, la frequenza di Brunt-Väisälä è la frequenza angolare alla quale oscilla una particella soggetta ad uno spostamento verticale entro un ambiente staticamente stabile.
Il nome deriva da quello dei meteorologi David Brunt gallese e Vilho Väisälä finlandese.

Nube ad onda sull'isola Amsterdam nell'Oceano indiano. La spaziatura tra le bande alternate di nubi a sottovento è regolata dalla frequenza di Brunt-Väisälä.

Formalismo matematico per un fluido generico

Consideriamo una particella fluida (di acqua o gas) di densità $\rho _{0}$ posta in un ambiente la cui densità è funzione dell'altezza $z$:

$\rho =\rho (z)$.

Se la particella subisce uno spostamento che comporta un piccolo incremento verticale $z'$, essa sarà soggetta ad una forza gravitazionale addizionale rispetto all'ambiente circostante pari a:

$\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}z'}{\partial t^{2}}}=-g(\rho (z)-\rho (z+z'))$

dove $g$ è l'accelerazione di gravità ed è definita positiva.

Possiamo fare un'approssimazione lineare a $\rho (z+z')-\rho (z)={\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}z'$, e spostare $\rho _{0}$ al secondo membro:

${\frac {\partial ^{2}z'}{\partial t^{2}}}={\frac {g}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}z'$

Si ottiene un'equazione differenziale del secondo ordine le cui soluzioni sono:

$z'=z'_{0}e^{{\sqrt {-N^{2}}}t}\!$

dove la frequenza di Brunt–Väisälä $N$ è:

$N={\sqrt {-{\frac {g}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}}}$

Per valori negativi di ${\frac {\partial \rho (z)}{\partial z}}$, $z'$ ha soluzioni oscillanti e N dà la frequenza angolare.
Per valori positivi, il fluido diviene staticamente instabile.

Meteorologia e oceanografia

La frequenza di Brunt-Väisälä corrisponde alla frequenza di un'onda di gravità, che gioca un ruolo importante negli scambi energetici della geofisica, in particolare nel caso della dinamica atmosferica e dell'oceanografia fisica.
Tra gli altri parametri la frequenza di Brunt-Väisälä regola l'altitudine e la spaziatura tra le bande di cumuli o di altocumulus lenticularis a valle delle montagne come pure la distanza tra le creste del moto ondoso oceanico.

Nell'atmosfera si ha

$N\equiv {\sqrt {{\frac {g}{\theta }}{\frac {d\theta }{dz}}}}$,

dove $\theta$ è la temperatura potenziale, $g$ è l'accelerazione di gravità locale, e $z$ è l'altitudine.

Nell'oceano, dove la salinità diventa importante, o nei laghi d'acqua dolce dove a temperature prossime al punto di congelamento dell'acqua, la densità non è più una funzione lineare della temperatura, si ha

$N\equiv {\sqrt {-{\frac {g}{\rho }}{\frac {d\rho }{dz}}}}$,

dove $\rho$, la densità potenziale, dipende sia dalla temperatura che dalla salinità.

Bibliografia

• Holton James R., An Introduction to Dynamic Meteorology, 4th edition, New York, Academic Press, 535 p., ISBN 0-12-354015-1, p. 50-53
• Lighthill J., Waves in Fluids, Cambridge University Press, 1978
• Mowbray D.E. e B.S.H. Rarity, A theoretical and experimental investigation of the phase configuration of internal waves of small amplitude in a density stratified liquid, Journal of Fluid Mechanics, no 28, 1967, p. 1-16
• Rogers R. R. e Yau M. K., Short Course in Cloud Physics, 3rd edition, Butterworth-Heinemann, 1 gennaio 1989, 304 p. (ISBN 0-7506-3215-1), p. 30-35, EAN 9780750632157
• Tritton D.J., Physical Fluid Dynamics, 2nd edition, Oxford University Press, 1988

Voci correlate

• Onda interna