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In analisi matematica, un'approssimazione lineare è un tipo di approssimazione di una funzione a una retta o comunque a una funzione affine (la traslata di una funzione lineare). Questo procedimento è anche detto linearizzazione o sviluppo al primo ordine della funzione.

Le approssimazioni lineari sono usate correntemente in molte aree della matematica e della fisica, perché consentono, sotto ipotesi opportune, di semplificare problemi complessi (e talvolta non altrimenti risolubili per via analitica).

Indice

DefinizioneModifica

Funzioni reali di variabile realeModifica

 
Retta tangente al grafico della funzione nel punto  .

Sia   una funzione reale di variabile reale derivabile in  . Possiamo allora scrivere il polinomio di Taylor della funzione centrato in  , arrestato al primo ordine:

 

dove la notazione o piccolo   indica che:

 

cioè che il resto trascurato durante l'approssimazione è un infinitesimo di ordine superiore al primo. Possiamo scrivere l'approssimazione come:

 

che è l'equazione di una retta; essa viene chiamata retta tangente al grafico di   nel punto di ascissa  . Questa è la retta che approssima linearmente   attorno ad  , ed è definita solo per funzioni derivabili almeno una volta in tale punto; una funzione derivabile in un punto, infatti, può essere "vista a ingrandimenti sempre maggiori" fino a essere indistinguibile, negli immediati paraggi del punto, da una retta: questa è la retta tangente.

Funzioni di variabile vettorialeModifica

 
Il piano illustrato approssima linearmente la funzione (a due variabili) attorno al punto di tangenza (in questo caso, il massimo della funzione).

Sia   una funzione reale a   variabili reali  , differenziabile in   aperto. Lo sviluppo al primo ordine di   attorno ad   si può scrivere:

 

dove:

 

è il gradiente di   calcolato nel punto   e

 .

Questo prodotto scalare definisce un iperpiano  -dimensionale tangente al grafico (immerso nell' -spazio) della funzione nel punto  ; questo iperpiano (che nel caso   è proprio la retta tangente) approssima linearmente la funzione attorno ad  , e la funzione approssimante:

 

è una funzione affine, data la linearità del prodotto scalare.

Nel caso di funzioni vettoriali   di componenti:

 

differenziabili una volta in   aperto, è possibile approssimare linearmente la funzione componente per componente, ottenendo (per un  ):

 

per ogni   da 1 a  ; usando la notazione vettoriale, si può scrivere:

 

dove:

 

è la matrice jacobiana della funzione   calcolata nel punto  , la quale contiene tutti i gradienti delle   componenti di  ; naturalmente, se  , si ritrova la formula della retta tangente.

GeneralizzazioneModifica

Una funzione definita su uno spazio di Banach può similmente essere approssimata tramite la funzione lineare:

 

dove   è la derivata di Fréchet di   nel punto  .

BibliografiaModifica

  • (EN) Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E., Calculus III, Berlin, Springer-Verlag, 1984, p. 775, ISBN 0-387-90985-0.
  • (EN) Strang, Gilbert, Calculus, Wellesley College, 1991, p. 94, ISBN 0-9614088-2-0.
  • (EN) Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E., Calculus III, Berlin, Springer-Verlag, 1984, p. 775, ISBN 0-387-90985-0.
  • Strang, Gilbert, Calculus, Wellesley College, 1991, p. 94, ISBN 0-9614088-2-0.
  • (EN) Bock, David; Hockett, Shirley O., How to Prepare for the AP Calculus, Hauppauge, NY, Barrons Educational Series, 2005, p. 118, ISBN 0-7641-2382-3.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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