Funzione di Liouville
In teoria dei numeri, la funzione di Liouville, indicata con e così chiamata in onore di Joseph Liouville, è una funzione aritmetica completamente moltiplicativa definita come
dove si intende che sia un intero positivo e la sua fattorizzazione sia
Equivalentemente, la funzione di Liouville si può definire come:
dove è il numero di fattori primi di contati nella loro molteplicità[1].
Dal momento che è additiva, è completamente moltiplicativa. Inoltre e quindi La funzione di Liouville soddisfa le seguenti identità:
La funzione di Liouville è collegata alla funzione zeta di Riemann dalla seguente formula:
La serie di Lambert per la funzione di Liouville è
con la somma a sinistra che è un caso particolare della funzione theta di Ramanujan e è una delle funzione theta di Jacobi.
La funzione di Liouville è correlata alla funzione di Möbius dalla seguente identità:
Congetture
modificaPólya congetturò che
per (congettura di Pólya). Ciò si rivelò essere falso essendo un controesempio (trovato da Minoru Tanaka nel 1980). Non è noto se cambi segno infinite volte. Inoltre, definendo
si congetturava che per sufficientemente grande (questa congettura è a volte attribuita impropriamente a Pál Turán). Ciò fu confutato da Haselgrove nel 1958, che dimostrò che assume valori negativi un numero infinito di volte. La conferma di questa congettura avrebbe condotto a una dimostrazione dell'ipotesi di Riemann, come è stato mostrato da Pál Turán.
Note
modifica- ^ (EN) Sequenza A008836, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
Bibliografia
modifica- Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Chapter 2.12).
- Polya, G., Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie. Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28 (1919), 31-40.
- Haselgrove, C.B. A disproof of a conjecture of Polya. Mathematika 5 (1958), 141-145.
- Lehman, R., On Liouville's function. Math. Comp. 14 (1960), 311-320.
- M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tokyo Journal of Mathematics 3, 187-189, (1980).
Altri progetti
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Collegamenti esterni
modifica- (EN) Eric W. Weisstein, Funzione di Liouville, su MathWorld, Wolfram Research.