Funzione di Liouville

In teoria dei numeri, la funzione di Liouville, indicata con e così chiamata in onore di Joseph Liouville, è una funzione aritmetica completamente moltiplicativa definita come

dove si intende che sia un intero positivo e la sua fattorizzazione sia

Equivalentemente, la funzione di Liouville si può definire come:

dove è il numero di fattori primi di contati nella loro molteplicità[1].

Dal momento che è additiva, è completamente moltiplicativa. Inoltre e quindi La funzione di Lioville soddisfa le seguenti identità:

La funzione di Liouville è collegata alla funzione zeta di Riemann dalla seguente formula:

La serie di Lambert per la funzione di Liouville è

con la somma a sinistra che è un caso particolare della funzione theta di Ramanujan e è una delle funzione theta di Jacobi.

La funzione di Liouville è correlata alla funzione di Möbius dalla seguente identità:

CongettureModifica

Pólya congetturò che

 

per   (congettura di Pólya). Ciò si rivelò essere falso essendo   un controesempio (trovato da Minoru Tanaka nel 1980). Non è noto se   cambi segno infinite volte. Inoltre, definendo

 

si congetturava che   per   sufficientemente grande (questa congettura è a volte attribuita impropriamente a Pál Turán). Ciò fu confutato da Haselgrove nel 1958, che dimostrò che   assume valori negativi un numero infinito di volte. La conferma di questa congettura avrebbe condotto a una dimostrazione dell'ipotesi di Riemann, come è stato mostrato da Pál Turán.

NoteModifica

BibliografiaModifica

  • Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Chapter 2.12).
  • Polya, G., Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie. Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28 (1919), 31-40.
  • Haselgrove, C.B. A disproof of a conjecture of Polya. Mathematika 5 (1958), 141-145.
  • Lehman, R., On Liouville's function. Math. Comp. 14 (1960), 311-320.
  • M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tokyo Journal of Mathematics 3, 187-189, (1980).

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