Funzione aritmetica
In matematica, in particolare in teoria dei numeri, una funzione aritmetica f(n) è una funzione definita per tutti i numeri naturali positivi e che ha come valori numeri reali o complessi che "esprime alcune proprietà aritmetiche di n".
In altre parole: una funzione aritmetica non è altro che una successione di numeri reali o complessi con particolari proprietà aritmetiche. Le più importanti funzioni aritmetiche sono quelle additive e quelle moltiplicative. Un'importante operazione con le funzioni aritmetiche è la convoluzione di Dirichlet.
Proprietà
modificaUna funzione aritmetica f può essere:
- additiva, se f(nm)=f(n)+f(m) per ogni n,m numeri naturali coprimi;
- completamente additiva, se f(nm)=f(n)+f(m) per ogni n,m numeri naturali;
- moltiplicativa, se f(nm)=f(n)f(m) per ogni n,m numeri naturali coprimi;
- completamente moltiplicativa, se f(nm)=f(n)f(m) per ogni n,m numeri naturali.
Funzioni additive
modificaω(n) – divisori primi distinti
modificaLa funzione ω(n) indica il numero di primi distinti che dividono n
se , con pi primi distinti e ai interi positivi.
Funzioni completamente additive
modificaΩ(n) – divisori primi
modificaLa funzione Ω(n) indica il numero di fattori primi di n contati con molteplicità
se , con pi primi distinti e ai interi positivi.
νp(n) – divisori potenze di primi
modificaLa funzione valutazione p-adica νp(n) indica il massimo esponente elevato al quale p divide n
se , con pi primi distinti e ai interi positivi.
Funzioni moltiplicative
modificaσk(n), τ(n), d(n) – somme di divisori
modificaLa funzione σk(n) è la somma delle potenze k-esime dei divisori positivi di n, incluso 1 e n, dove k è un numero complesso.
Nel caso particolare k=0, la funzione σ0(n) è semplicemente il numero dei divisori (positivi) n; ed è solitamente indicata semplicemente con d(n) o τ(n) (dal tedesco Teiler = divisore).
Sostituendo k = 0 nel secondo prodotto si ha
Nel caso particolare k=1, la funzione σ1(n) è semplicemente la somma dei divisori (positivi) di n ed è solitamente indicata semplicemente con σ(n).
φ(n) – funzione toziente di Eulero
modificaLa funzione toziente di Eulero φ(n) è il numero degli interi positivi minori di n coprimi con n.
Jk(n) – funzione toziente di Jordan
modificaLa funzione toziente di Jordan Jk(n) è il numero delle k-ple di interi positivi minori o uguali a n che formano una (k + 1)-pla di numeri coprimi insieme a n.
Nel caso particolare k=1 si ottiene la funzione toziente di Eulero J1(n)=φ(n).
μ(n) - funzione di Möbius
modificaLa funzione di Möbius μ(n) è importante a causa della formula di inversione di Möbius.
Funzioni completamente moltiplicative
modificaλ(n) – funzione di Liouville
modificaLa funzione di Liouville λ(n) è definita da
χ(n) – caratteri
modificaTutti i caratteri di Dirichlet χ(n) sono completamente moltiplicativi.
Il carattere quadratico (mod n) è indicato con il simbolo di Jacobi per n dispari (non è definito per n pari):
In questa formula è il simbolo di Legendre, definito per ogni intero a e per ogni primo p da
per l'usuale convenzione del prodotto vuoto si ha
Funzioni né additive né moltiplicative
modificaπ(x) – enumerazione di primi
modificaDiversamente dalle altre funzioni elencate in quest'articolo, questa è definita per valori reali non negativi (non solo interi).
La funzione enumerativa dei primi π(x) è il numero dei numeri primi minori o uguali a x.
Ad esempio si ha che π(1) = 0 e π(10) = 4 (i primi minori di 10 sono 2, 3, 5, e 7).
Λ(n) – funzione di von Mangoldt
modificaLa funzione di von Mangoldt Λ(n), è definita
p(n) – funzione partizione
modificaLa funzione p(n) indica il numero di modi di rappresentare n come somma di interi positivi (non considerando l'ordine degli addendi):
rk(n) – somma di quadrati
modificaLa funzione rk(n) indica il numero di volte che n può essere rappresentato come somma di k quadrati (dove l'ordine degli addendi e il segno contano come differenti)
Ad esempio r4(n) è il numero di modi in cui n può essere espresso come somma di 4 quadrati di numeri non negativi. Ad esempio
dunque r4(1)=8.
Bibliografia
modifica- Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Chapter 2).
Voci correlate
modificaAltri progetti
modifica- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulle funzioni aritmetiche
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