Funzione eta di Dirichlet

Per ogni s con la funzione eta di Dirichlet si definisce come[1]:

Sono disponibili alcune estensioni che portano la serie a convergere per ogni

Correlazione con la funzione zeta di RiemannModifica

Dimostrazione

È possibile dare una semplice giustificazione di questo fatto che non costituisce però una dimostrazione rigorosa.

Poiché la funzione zeta è definita come:

 

Possiamo dire che:

 

Ora se aggiungiamo questa somma alla funzione eta avremo che:

 
 
 

Se ci aggiungiamo un'altra volta :  avremo che:

 
 

Ossia:

 

E dunque:

 

QED

Si può stabilire una correlazione tra la funzione eta e la funzione zeta di Riemann ζ:

 

Poiché la funzione eta converge per ogni   mentre la funzione zeta solo per   la funzione eta può rappresentare un prolungamento analitico dell'altra.

Relazione di RiflessioneModifica

Analogamente alla funzione zeta di Riemann si può dimostrare questa formula di riflessione

 

Che ci fornisce un prolungamento analitico per il semipiano complesso negativo.

Valori particolariModifica

Grazie alla suddetta formula che collega la funzione eta a la funzione zeta si possono ricavare delle forme esatte (o chiuse) per ogni valore in cui la funzione zeta di Riemann è definita esattamente, ovvero per i valori pari di s, mentre per i valori dispari non si dispone ancora di una forma esatta. Nel caso s=0 (nel quale la formula è indeterminata) invece si dispone di un valore adatto poiché è un caso particolare della serie di Mercator.

Ecco dunque i valori per cui si dispone di una forma esatta:

 , ossia la serie armonica a segni alterni
 
 
 
 
 
 

Più in generale per ogni valore pari di s:

 

Dove   sono i numeri di Bernoulli

Per i valori di s minori di 1 la serie diverge ma è possibile trovare dei prolungamenti analitici:

 

 

Generalizzando per ogni s minore di uno

 

NoteModifica

  1. ^ M. Abramowitz e I. Stegun (1964) Handbook of Mathematical Functions Governement Printing Office p. 807

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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