Grande icosaedro troncato

Grande pentacisdodecaedro stellato
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Tipo	Poliedro stellato
Forma facce	Triangoli isosceli
Nº facce	60
Nº spigoli	90
Nº vertici	32
Caratteristica di Eulero	2
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Grande icosaedro troncato

Grande icosaedro troncato
Tipo	Poliedro stellato uniforme
Forma facce	20 esagoni; 12 pentagrammi
Nº facce	32
Nº spigoli	90
Nº vertici	60
Caratteristica di Eulero	2
Incidenza dei vertici	6.6.5/2
Notazione di Wythoff	2 5/2 \| 3; 2 5/3 \| 3
Notazione di Schläfli	t{3,5/2} o t0,1{3,5/2}
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Grande pentacisdodecaedro stellato
Proprietà	Non convessità
Politopi correlati
Figura al vertice	Poliedro duale

In geometria, il grande icosaedro troncato è un poliedro stellato uniforme avente 32 facce - 20 esagonali e 12 a forma di pentagramma - 90 spigoli e 60 vertici.^[1]

Coordinate cartesiane modifica

Le coordinate cartesiane per i vertici del grande icosaedro troncato sono date da tutte le permutazioni pari di:

\left(\,\pm 1,\,0,\,\pm 3\varphi ^{-1}\,\right)

\left(\,\pm 2,\,\pm \varphi ^{-1},\,\pm \varphi ^{-3}\,\right)

\left(\,\pm (1+\varphi ^{-2}),\,\pm 1,\,\pm 2\varphi ^{-1}\,\right)

dove $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ è la sezione aurea.

Poliedri correlati modifica

Il grande icosaedro troncato, spesso indicato con il simbolo U₅₅ e avente come inviluppo convesso un rombicosidodecaedro non uniforme, è il risultato del troncamento di un grande icosaedro; di seguito un'animazione che mostra la sequenza di troncamento da un grande dodecaedro stellato, {⁵⁄₂, 3}, a un grande icosaedro, {3, ⁵⁄₂} e viceversa, con il grande icosaedro troncato come passaggio intermedio:

Name	Grande dodecaedro stellato	Icosaedro	Grande icosidodecaedro	Grande icosaedro troncato	Grande icosaedro
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Immagine

Grande pentacisdodecaedro stellato modifica

Il grande pentacisdodecaedro stellato è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del grande icosaedro troncato, avente per facce 60 triangoli isosceli.^[2] Dato un grande icosaedro troncato di spigolo pari a 1, immaginando il grande pentacisdodecaedro stellato come composto da 60 facce intersecanti a forma di triangolo isoscele, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, le facce risultanti hanno una coppia di angoli uguali di ampiezza pari a $\arccos({\frac {3}{4}}+{\frac {1}{12}}{\sqrt {5}})\approx 20,554\,442\,656\,71^{\circ }$ e l'angolo al vertice di ampiezza pari a $\arccos(-{\frac {7}{36}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {5}})\approx 138,891\,114\,686\,59^{\circ }$ , con la base di lunghezza pari a $3{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 4,85410$ e i due lati uguali di lunghezza pari a $9{\frac {1+2{\sqrt {5}}}{19}}\approx 2,59206$ .

Note modifica

^ Roman Maeder, 55: great truncated icosahedron, su Mathconsult. URL consultato il 24 marzo 2024.
^ Magnus J. Wenninger, Dual Models, Cambridge University Press, 2004, pp. 75. URL consultato il 20 marzo 2024.

Collegamenti esterni modifica

(EN) Eric W. Weisstein, Grande icosaedro troncato, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Eric W. Weisstein, Grande pentacisdodecaedro stellato, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 20 marzo 2024.

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[1] Roman Maeder, 55: great truncated icosahedron, su Mathconsult. URL consultato il 24 marzo 2024.

[2] Magnus J. Wenninger, Dual Models, Cambridge University Press, 2004, pp. 75. URL consultato il 20 marzo 2024.

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