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In matematica, e più precisamente in geometria e topologia, la caratteristica di Eulero è un numero intero che descrive alcuni aspetti della forma di uno spazio topologico. Si denota comunemente con (lettera greca chi).

La caratteristica di Eulero fu formulata originariamente per i poliedri, e usata per dimostrare vari teoremi, inclusa la classificazione dei solidi platonici: Eulero partecipò attivamente a queste ricerche.

Nella matematica moderna, la caratteristica di Eulero, chiamata anche caratteristica di Eulero-Poincaré, è definita in un ambito più generale a partire da una omologia, introdotta dal matematico Henri Poincaré.

Indice

PoliedriModifica

DefinizioneModifica

La caratteristica di Eulero   fu definita inizialmente per i poliedri, con la formula

 

dove V, S e F sono rispettivamente il numero di vertici, spigoli e facce del poliedro.

Relazione di EuleroModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Relazione di Eulero.

La relazione di Eulero asserisce che

 

per tutti i poliedri "senza buchi", ovvero semplicemente connessi. I poliedri convessi rientrano in questa categoria.

Esempi di poliedri convessiModifica

La formula di Eulero può essere usata per dimostrare che ci sono solo 5 solidi platonici:

Nome Immagine V (vertici) S (spigoli) F (facce) Caratteristica di Eulero: VS + F
Tetraedro   4 6 4 2
Cubo   8 12 6 2
Ottaedro   6 12 8 2
Dodecaedro   20 30 12 2
Icosaedro   12 30 20 2

Definizione formaleModifica

Complessi di celle o simplicialiModifica

Un poliedro è un esempio di complesso di celle, o di complesso simpliciale: questi sono particolari spazi topologici costruiti a partire da vertici, spigoli, facce 2-dimensionali, facce 3-dimensionali, ecc. Per questi spazi la caratteristica di Eulero è definita semplicemente come

 

dove   è il numero di facce n-dimensionali (vertici e spigoli sono intesi come facce di dimensione 0 e 1).

Lo stesso spazio può essere descritto da molte decomposizioni in celle o simpliciali differenti, con valori   variabili: il fatto notevole, che rende la caratteristica di Eulero importante in geometria, è che la quantità   è però indipendente dalla decomposizione scelta.

Spazi topologiciModifica

Ancora più in generale, si può definire la caratteristica di Eulero-Poincaré di un qualsiasi spazio topologico con l'omologia: senza entrare nel dettaglio, si definisce  come la dimensione dell'i-esimo gruppo di omologia, e quindi

 

Se lo spazio topologico non è troppo complicato, ciascun   è effettivamente un numero (non è infinito), e  è zero per ogni n sufficientemente grande.

ProprietàModifica

La caratteristica di Eulero è un invariante topologico: due spazi topologici omeomorfi hanno la stessa caratteristica. Questo è un risultato molto forte, che implica in modo banale la formula di Eulero: i poliedri convessi sono infatti tutti omeomorfi alla sfera bidimensionale.

La caratteristica è anche invariante per equivalenza omotopica: due spazi omotopicamente equivalenti hanno la stessa caratteristica.

Se M e N sono spazi topologici disgiunti, abbiamo

 

Più in generale, se M e N sono sottospazi di uno spazio più grande che non si intersecano in modo troppo complicato, vale la relazione

 

La caratteristica di Eulero di un prodotto di spazi M × N è

 

Infine, grazie alla dualità di Poincaré, la caratteristica di una varietà differenziabile compatta di dimensione dispari è zero.

EsempiModifica

Spazi contrattiliModifica

Ogni spazio contrattile, cioè omotopicamente equivalente a un punto, ha la stessa caratteristica di Eulero del punto, che è 1 perché il punto ha 1 vertice e 0 facce di ogni dimensione maggiore. Quindi la retta, il piano, e ogni spazio euclideo ha caratteristica di Eulero 1.

SuperficiModifica

La caratteristica di Eulero di una superficie può essere calcolata agevolmente tramite una suddivisione in poligoni (cioè una descrizione come complesso di celle) e un conteggio del numero di vertici, spigoli e poligoni. La caratteristica di Eulero è l'invariante fondamentale nella classificazione delle superfici.

Nome Immagine Caratteristica di Eulero
Sfera   2
Toro   0
Superficie orientabile di genere 2   -2
Superficie orientabile di genere 3.   -4
Nastro di Möbius   0
Piano proiettivo   1
bottiglia di Klein   0
Due sfere (non connesso)    2 + 2 = 4

Nel caso in cui siano dati vertici e facce e la tassellazione sia regolare (tutte le facce contano lo stesso numero di spigoli), è possibile riscrivere la caratteristica di Eulero in modo più semplice senza contare gli spigoli.

 

dove   è il numero di lati (diviso due, perché ogni spigolo è incidente su due facce).

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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