Sia
G
{\displaystyle G}
gruppo , e
H
{\displaystyle H}
sottogruppo normale . Si può introdurre la relazione di equivalenza su
G
{\displaystyle G}
g
,
g
′
{\displaystyle g,g'}
G
{\displaystyle G}
[ 1]
g
∼
g
′
⟺
d
e
f
g
′
g
−
1
∈
H
⟺
g
′
=
h
g
,
h
∈
H
{\displaystyle g\sim g^{\prime }\quad {\overset {def}{\Longleftrightarrow }}\quad g^{\prime }g^{-1}\in H\quad \Longleftrightarrow \quad g^{\prime }=hg,\quad h\in H}
Si indica con
[
g
]
{\displaystyle [g]}
classe d'equivalenza
[
g
]
=
{
h
g
∣
h
∈
H
}
=
H
g
{\displaystyle [g]=\{hg\mid h\in H\}=Hg}
per ogni
g
{\displaystyle g}
G
{\displaystyle G}
laterale destro
H
{\displaystyle H}
G
{\displaystyle G}
[
g
]
∗
=
{
g
h
∣
h
∈
H
}
=
g
H
{\displaystyle [g]^{*}=\{gh\mid h\in H\}=gH}
(laterale sinistro ), definita dalla relazione:
g
∼
∗
g
′
⟺
d
e
f
g
−
1
g
′
∈
H
⟺
g
′
=
g
h
,
h
∈
H
{\displaystyle g\sim ^{*}g^{\prime }\quad {\overset {def}{\Longleftrightarrow }}\quad g^{-1}g^{\prime }\in H\quad \Longleftrightarrow \quad g^{\prime }=gh,\quad h\in H}
Poiché
H
{\displaystyle H}
[
g
]
=
[
g
]
∗
{\displaystyle [g]=[g]^{*}}
Si definisce gruppo quoziente
G
/
H
{\displaystyle G/H}
G
/
H
=
{
[
g
]
∣
g
∈
G
}
{\displaystyle G/H=\{[g]\mid g\in G\}}
delle classi d'equivalenza; la classe
[
g
]
{\displaystyle [g]}
partizione di
G
{\displaystyle G}
g
≁
g
′
⇒
[
g
]
∩
[
g
′
]
=
∅
{\displaystyle g\not \sim g^{\prime }\Rightarrow [g]\cap [g^{\prime }]=\varnothing }
e
⨆
g
∈
G
[
g
]
=
G
{\displaystyle \bigsqcup _{g\in G}[g]=G}
L'insieme
G
/
H
{\displaystyle G/H}
H
{\displaystyle H}
G
{\displaystyle G}
L'insieme
G
/
H
{\displaystyle G/H}
H
{\displaystyle H}
normale (come è stato assunto), si può munire
G
/
H
{\displaystyle G/H}
G
{\displaystyle G}
∗
:
G
/
H
×
G
/
H
→
G
/
H
{\displaystyle *:G/H\times G/H\to G/H}
g
H
∗
g
′
H
:=
g
g
′
H
{\displaystyle gH*g^{\prime }H:=gg^{\prime }H}
ossia
[
g
]
∗
[
g
′
]
:=
[
g
g
′
]
{\displaystyle \quad [g]*[g^{\prime }]:=[gg^{\prime }]}
Questo soddisfa gli assiomi di gruppo, perché:
se
a
∼
a
′
{\displaystyle a\sim a^{\prime }}
b
∼
b
′
{\displaystyle b\sim b^{\prime }}
a
′
=
a
h
{\displaystyle a^{\prime }=ah}
b
′
=
b
k
{\displaystyle b^{\prime }=bk}
h
,
k
∈
H
{\displaystyle h,k\in H}
(
a
b
)
−
1
a
′
b
′
=
b
−
1
a
−
1
a
′
b
′
=
b
−
1
h
b
k
{\displaystyle (ab)^{-1}a^{\prime }b^{\prime }=b^{-1}a^{-1}a^{\prime }b^{\prime }=b^{-1}hbk}
H
{\displaystyle H}
a
b
∼
a
′
b
′
{\displaystyle ab\sim a^{\prime }b^{\prime }}
l'elemento unità di
G
/
H
{\displaystyle G/H}
[
1
]
{\displaystyle [1]}
1
{\displaystyle 1}
G
{\displaystyle G}
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
g
H
∗
1
H
=
(
g
1
)
H
=
g
H
{\displaystyle gH*1H=(g1)H=gH}
vale la relazione
[
g
]
−
1
=
[
g
−
1
]
{\displaystyle [g]^{-1}=[g^{-1}]}
g
H
∗
g
−
1
H
=
(
g
g
−
1
)
H
=
1
H
{\displaystyle gH*g^{-1}H=(gg^{-1})H=1H}
g
−
1
H
{\displaystyle g^{-1}H}
g
H
{\displaystyle gH}
Pertanto,
(
G
/
H
,
∗
)
{\displaystyle (G/H,*)}
gruppo .
Per ogni gruppo quoziente, è possibile definire in modo naturale una proiezione canonica definita dall'applicazione:
π
:
G
→
G
/
H
{\displaystyle \pi :G\to G/H}
g
→
[
g
]
{\displaystyle g\to [g]}
Questa applicazione è un omomorfismo tra gruppi , cioè
π
(
g
g
′
)
=
π
(
g
)
∗
π
(
g
′
)
{\displaystyle \pi (gg^{\prime })=\pi (g)*\pi (g^{\prime })}
per ogni
g
,
g
′
{\displaystyle g,g^{\prime }}
G
{\displaystyle G}
suriettiva , dato che, per ogni
[
g
]
{\displaystyle [g]}
π
−
1
(
[
g
]
)
∋
g
{\displaystyle \pi ^{-1}([g])\ni g}
Il nucleo dell'applicazione, inoltre, è esattamente l'insieme
H
{\displaystyle H}
[ 2]
g
∈
Ker
(
π
)
⇔
π
(
g
)
=
[
1
]
⇔
g
H
=
1
H
⇔
g
=
1
h
,
h
∈
H
⇔
g
∈
H
{\displaystyle g\in \operatorname {Ker} (\pi )\Leftrightarrow \pi (g)=[1]\Leftrightarrow gH=1H\Leftrightarrow g=1h,h\in H\Leftrightarrow g\in H}
^ Viene di seguito adoperata la notazione moltiplicativa per la legge di composizione definita sul gruppo.
^ Si tenga a mente che il nucleo di un omomorfismo da
G
{\displaystyle G}
F
{\displaystyle F}
G
{\displaystyle G}
F
{\displaystyle F}
[
1
]
{\displaystyle [1]}
![{\displaystyle [g]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6545341f409fd77429f02ba8bb88e4445bc2002a)
![{\displaystyle [g]=\{hg\mid h\in H\}=Hg}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37746ec24b740faf642133d7fe04f56935b1aa3)
![{\displaystyle [g]^{*}=\{gh\mid h\in H\}=gH}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f5ec99840c48a6fbc810d042bed0b51227f8e52)
![{\displaystyle [g]=[g]^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c41e13f2ba920f546b782e9918bc0bb9ff7850aa)
![{\displaystyle G/H=\{[g]\mid g\in G\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bbb49dd308c03de2afd5237c826bff378840fe1)
![{\displaystyle g\not \sim g^{\prime }\Rightarrow [g]\cap [g^{\prime }]=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9369af9eede706469014ab3ed9185b8c99b8572d)
![{\displaystyle \bigsqcup _{g\in G}[g]=G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adbb2d39a8c7645596617fef1b2cf69d21f64598)
![{\displaystyle \quad [g]*[g^{\prime }]:=[gg^{\prime }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f815e24d18c8d0d723506326e000b281486ec271)
![{\displaystyle [1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83021ecdd7307a04dbb7873affcaac031e7e935a)
![{\displaystyle [g]^{-1}=[g^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c216704dc62296478404507c523955888e833ddf)
![{\displaystyle g\to [g]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98b48646ae4fa52b3d652b27c5bde23911f1e067)
![{\displaystyle \pi ^{-1}([g])\ni g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd139de1426a777dc539483d0127773335ed953)
![{\displaystyle g\in \operatorname {Ker} (\pi )\Leftrightarrow \pi (g)=[1]\Leftrightarrow gH=1H\Leftrightarrow g=1h,h\in H\Leftrightarrow g\in H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/610f5bf7078cff617fb6c5f4f5c98c362e49d007)
