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In matematica, un gruppo quoziente è una particolare struttura algebrica che è possibile costruire a partire da un dato gruppo e un suo sottogruppo normale .

Indice

DefinizioneModifica

PremessaModifica

Sia   un gruppo, e   un suo sottogruppo normale. Si può introdurre la relazione d'equivalenza su   definita, per ogni   appartenenti a  , da[1]

 .

Si indica con   la classe d'equivalenza

 

per ogni   appartenente a   (laterale destro di   in  ). In modo analogo è possibile definire la classe

 

(laterale sinistro), definita dalla relazione:

 .

Poiché   è normale,  , cioè i laterali coincidono.

Gruppo quozienteModifica

Si definisce gruppo quoziente   l'insieme

 

delle classi d'equivalenza; la classe   è ben definita, poiché la relazione d'equivalenza realizza una partizione di  , sicché

 

e

 .

L'insieme   può anche essere visto come l'insieme dei laterali di   in  .

Struttura di gruppoModifica

L'insieme   è ben definito per ogni tipo di sottogruppo; se però   è normale (come è stato assunto), si può munire   di una struttura di gruppo in modo naturale inducendo il prodotto da quello definito in  ; si definisce infatti il seguente prodotto:

 
 

ossia  .

Questo soddisfa gli assiomi di gruppo, perché:

  • se   e   (cioè se   e  , con  ), allora  , che appartiene a   perché questo è normale; di conseguenza,  , e il prodotto è ben definito;
  • l'elemento unità di   è proprio   (dove   è l'elemento unità di  ), in quanto, per ogni  , si ha  .
  • vale la relazione  , perché   (cioè   è l'inverso di  ).

Pertanto,   è un gruppo.

ProiezioneModifica

Per ogni gruppo quoziente, è possibile definire in modo naturale una proiezione canonica definita dall'applicazione:

 
 .

Questa applicazione è un omomorfismo tra gruppi, cioè

 

per ogni   appartenenti a  . L'applicazione è anche evidentemente suriettiva, dato che, per ogni  , si ha

 .

Il nucleo dell'applicazione, inoltre, è esattamente l'insieme  , dato che[2]

 

NoteModifica

  1. ^ Viene di seguito adoperata la notazione moltiplicativa per la legge di composizione definita sul gruppo.
  2. ^ Si tenga a mente che il nucleo di un omomorfismo da   a   è l'insieme degli elementi di   che la funzione applica nell'elemento neutro di   (in questo caso,  ).

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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