Sia
G
{\displaystyle G}
un gruppo , e
H
{\displaystyle H}
un suo sottogruppo normale . Si può introdurre la relazione di equivalenza su
G
{\displaystyle G}
definita, per ogni
g
,
g
′
{\displaystyle g,g'}
appartenenti a
G
{\displaystyle G}
, da[1]
g
∼
g
′
⟺
d
e
f
g
′
g
−
1
∈
H
⟺
g
′
=
h
g
,
h
∈
H
{\displaystyle g\sim g^{\prime }\quad {\overset {def}{\Longleftrightarrow }}\quad g^{\prime }g^{-1}\in H\quad \Longleftrightarrow \quad g^{\prime }=hg,\quad h\in H}
.Si indica con
[
g
]
{\displaystyle [g]}
la classe d'equivalenza
[
g
]
=
{
h
g
∣
h
∈
H
}
=
H
g
{\displaystyle [g]=\{hg\mid h\in H\}=Hg}
per ogni
g
{\displaystyle g}
appartenente a
G
{\displaystyle G}
(laterale destro di
H
{\displaystyle H}
in
G
{\displaystyle G}
). In modo analogo è possibile definire la classe
[
g
]
∗
=
{
g
h
∣
h
∈
H
}
=
g
H
{\displaystyle [g]^{*}=\{gh\mid h\in H\}=gH}
(laterale sinistro ), definita dalla relazione:
g
∼
∗
g
′
⟺
d
e
f
g
−
1
g
′
∈
H
⟺
g
′
=
g
h
,
h
∈
H
{\displaystyle g\sim ^{*}g^{\prime }\quad {\overset {def}{\Longleftrightarrow }}\quad g^{-1}g^{\prime }\in H\quad \Longleftrightarrow \quad g^{\prime }=gh,\quad h\in H}
.Poiché
H
{\displaystyle H}
è normale,
[
g
]
=
[
g
]
∗
{\displaystyle [g]=[g]^{*}}
, cioè i laterali coincidono.
Si definisce gruppo quoziente
G
/
H
{\displaystyle G/H}
l'insieme
G
/
H
=
{
[
g
]
∣
g
∈
G
}
{\displaystyle G/H=\{[g]\mid g\in G\}}
delle classi d'equivalenza; la classe
[
g
]
{\displaystyle [g]}
è ben definita, poiché la relazione d'equivalenza realizza una partizione di
G
{\displaystyle G}
, sicché
g
≁
g
′
⇒
[
g
]
∩
[
g
′
]
=
∅
{\displaystyle g\not \sim g^{\prime }\Rightarrow [g]\cap [g^{\prime }]=\varnothing }
e
⨆
g
∈
G
[
g
]
=
G
{\displaystyle \bigsqcup _{g\in G}[g]=G}
.L'insieme
G
/
H
{\displaystyle G/H}
può anche essere visto come l'insieme dei laterali di
H
{\displaystyle H}
in
G
{\displaystyle G}
.
Struttura di gruppo Modifica
L'insieme
G
/
H
{\displaystyle G/H}
è ben definito per ogni tipo di sottogruppo; se però
H
{\displaystyle H}
è normale (come è stato assunto), si può munire
G
/
H
{\displaystyle G/H}
di una struttura di gruppo in modo naturale inducendo il prodotto da quello definito in
G
{\displaystyle G}
; si definisce infatti il seguente prodotto:
∗
:
G
/
H
×
G
/
H
→
G
/
H
{\displaystyle *:G/H\times G/H\to G/H}
g
H
∗
g
′
H
:=
g
g
′
H
{\displaystyle gH*g^{\prime }H:=gg^{\prime }H}
ossia
[
g
]
∗
[
g
′
]
:=
[
g
g
′
]
{\displaystyle \quad [g]*[g^{\prime }]:=[gg^{\prime }]}
.
Questo soddisfa gli assiomi di gruppo, perché:
se
a
∼
a
′
{\displaystyle a\sim a^{\prime }}
e
b
∼
b
′
{\displaystyle b\sim b^{\prime }}
(cioè se
a
′
=
a
h
{\displaystyle a^{\prime }=ah}
e
b
′
=
b
k
{\displaystyle b^{\prime }=bk}
, con
h
,
k
∈
H
{\displaystyle h,k\in H}
), allora
(
a
b
)
−
1
a
′
b
′
=
b
−
1
a
−
1
a
′
b
′
=
b
−
1
h
b
k
{\displaystyle (ab)^{-1}a^{\prime }b^{\prime }=b^{-1}a^{-1}a^{\prime }b^{\prime }=b^{-1}hbk}
, che appartiene a
H
{\displaystyle H}
perché questo è normale; di conseguenza,
a
b
∼
a
′
b
′
{\displaystyle ab\sim a^{\prime }b^{\prime }}
, e il prodotto è ben definito;
l'elemento unità di
G
/
H
{\displaystyle G/H}
è proprio
[
1
]
{\displaystyle [1]}
(dove
1
{\displaystyle 1}
è l'elemento unità di
G
{\displaystyle G}
), in quanto, per ogni
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
, si ha
g
H
∗
1
H
=
(
g
1
)
H
=
g
H
{\displaystyle gH*1H=(g1)H=gH}
.
vale la relazione
[
g
]
−
1
=
[
g
−
1
]
{\displaystyle [g]^{-1}=[g^{-1}]}
, perché
g
H
∗
g
−
1
H
=
(
g
g
−
1
)
H
=
1
H
{\displaystyle gH*g^{-1}H=(gg^{-1})H=1H}
(cioè
g
−
1
H
{\displaystyle g^{-1}H}
è l'inverso di
g
H
{\displaystyle gH}
). Pertanto,
(
G
/
H
,
∗
)
{\displaystyle (G/H,*)}
è un gruppo .
Per ogni gruppo quoziente, è possibile definire in modo naturale una proiezione canonica definita dall'applicazione:
π
:
G
→
G
/
H
{\displaystyle \pi :G\to G/H}
g
→
[
g
]
{\displaystyle g\to [g]}
.Questa applicazione è un omomorfismo tra gruppi , cioè
π
(
g
g
′
)
=
π
(
g
)
∗
π
(
g
′
)
{\displaystyle \pi (gg^{\prime })=\pi (g)*\pi (g^{\prime })}
per ogni
g
,
g
′
{\displaystyle g,g^{\prime }}
appartenenti a
G
{\displaystyle G}
.
L'applicazione è anche evidentemente suriettiva , dato che, per ogni
[
g
]
{\displaystyle [g]}
, si ha
π
−
1
(
[
g
]
)
∋
g
{\displaystyle \pi ^{-1}([g])\ni g}
.Il nucleo dell'applicazione, inoltre, è esattamente l'insieme
H
{\displaystyle H}
, dato che[2]
g
∈
Ker
(
π
)
⇔
π
(
g
)
=
[
1
]
⇔
g
H
=
1
H
⇔
g
=
1
h
,
h
∈
H
⇔
g
∈
H
{\displaystyle g\in \operatorname {Ker} (\pi )\Leftrightarrow \pi (g)=[1]\Leftrightarrow gH=1H\Leftrightarrow g=1h,h\in H\Leftrightarrow g\in H}
^ Viene di seguito adoperata la notazione moltiplicativa per la legge di composizione definita sul gruppo.
^ Si tenga a mente che il nucleo di un omomorfismo da
G
{\displaystyle G}
a
F
{\displaystyle F}
è l'insieme degli elementi di
G
{\displaystyle G}
che la funzione applica nell'elemento neutro di
F
{\displaystyle F}
(in questo caso,
[
1
]
{\displaystyle [1]}
).