Identità di Legendre-de Polignac
In teoria dei numeri, l'identità di Legendre-de Polignac (o anche solo identità di Legendre), da Adrien-Marie Legendre e Alphonse de Polignac, fornisce l'esponente della maggiore potenza di un numero primo che divide il fattoriale dove è un intero.
L'identità
modificaPer ogni numero primo e ogni intero positivo, con indica l'esponente della maggiore potenza di un numero primo che divide (la valutazione p-adica di ). Allora
dove rappresenta la parte intera di Per ogni tale che , si ha
A ciò segue la disuguaglianza
Esempio
modificaPer si ha . Gli esponenti e possono essere ottenuti dalla identità di Legendre in questo modo:
Dimostrazione
modificaEssendo il prodotto degli interi da a otteniamo almeno un fattore di in per ogni multiplo di in che sono in numero pari a . Ogni multiplo di apporta un ulteriore fattore di ogni multiplo di apporta ancora un altro fattore di ecc. La somma del numero di questi fattori produce la somma infinita per .
Forma alternativa
modificaSi può riformulare l'identità di Legendre-de Polignac in termini dell'espansione in base di Con si denota la somma delle cifre dell'espansione in base di Allora
Esempio
modificaScrivendo in binario come abbiamo che e quindi
Similmente, scrivendo in ternario come abbiamo che e quindi
Dimostrazione
modificaScrivendo in base si ottiene che Allora
Applicazioni
modificaL'identità di Legendre-de Polignac è utilizzata per dimostrare il teorema di Kummer. Può anche essere utilizzata per dimostrare che se è un intero positivo, allora divide se e solo se non è una potenza di
Segue all'identità di Legendre-de Polignac che la funzione esponenziale p-adica ha raggio di convergenza .
Bibliografia
modifica- Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (Chapter 3.11)
- Legendre, A. M. (1830), Théorie des Nombres, Paris: Firmin Didot Frères
- Moll, Victor H. (2012), Numbers and Functions, American Mathematical Society, ISBN 978-0821887950, MR 2963308, page 77
- Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers, Volume 1, Carnegie Institution of Washington, 1919, page 263.