Identità di Legendre-de Polignac

In teoria dei numeri, l'identità di Legendre-de Polignac (o anche solo identità di Legendre), da Adrien-Marie Legendre e Alphonse de Polignac, fornisce l'esponente della maggiore potenza di un numero primo che divide il fattoriale dove è un intero.

L'identitàModifica

Per ogni   numero primo e ogni   intero positivo, con   indica l'esponente della maggiore potenza di un numero primo   che divide   (la valutazione p-adica di  ). Allora

 

dove   rappresenta la parte intera di   Per ogni   tale che  , si ha  

A ciò segue la disuguaglianza

 

EsempioModifica

Per   si ha  . Gli esponenti   e   possono essere ottenuti dalla identità di Legendre in questo modo:

 

DimostrazioneModifica

Essendo   il prodotto degli interi da   a   otteniamo almeno un fattore di   in   per ogni multiplo di   in   che sono in numero pari a  . Ogni multiplo di  apporta un ulteriore fattore di   ogni multiplo di   apporta ancora un altro fattore di   ecc. La somma del numero di questi fattori produce la somma infinita per  .

Forma alternativaModifica

Si può riformulare l'identità di Legendre-de Polignac in termini dell'espansione in base   di   Con   si denota la somma delle cifre dell'espansione in base   di   Allora

 

EsempioModifica

Scrivendo   in binario come   abbiamo che   e quindi

 

Similmente, scrivendo   in ternario come   abbiamo che   e quindi

 

DimostrazioneModifica

Scrivendo   in base   si ottiene che   Allora

 

ApplicazioniModifica

L'identità di Legendre-de Polignac è utilizzata per dimostrare il teorema di Kummer. Può anche essere utilizzata per dimostrare che se   è un intero positivo, allora   divide   se e solo se   non è una potenza di  

Segue all'identità di Legendre-de Polignac che la funzione esponenziale p-adica ha raggio di convergenza  .

BibliografiaModifica

  • Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (Chapter 3.11)
  • Legendre, A. M. (1830), Théorie des Nombres, Paris: Firmin Didot Frères
  • Moll, Victor H. (2012), Numbers and Functions, American Mathematical Society, ISBN 978-0821887950, MR 2963308, page 77
  • Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers, Volume 1, Carnegie Institution of Washington, 1919, page 263.

Voci correlateModifica

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