Identità di Sophie Germain

L'identità di Sophie Germain è la seguente identità:

$a^{4}+4b^{4}=(a^{2}+2b^{2}+2ab)(a^{2}+2b^{2}-2ab)$

Non è immediato ricavare questa fattorizzazione, dal momento che, diversamente dalla differenza di due quadrati, la somma di due quadrati non si può (in generale) scomporre, se non ricorrendo ai numeri complessi: $x^{2}+y^{2}=(x+iy)(x-iy)$. Ciò non è vero se anche $2xy$ è un quadrato, poiché in questo caso è sufficiente aggiungere e sottrarre $2xy$.

Si può ricavare l'identità tramite completamento del quadrato:

${\begin{aligned}a^{4}+4b^{4}&={(a^{2})}^{2}+{(2b^{2})}^{2}={(a^{2})}^{2}+2(2a^{2}b^{2})+{(2b^{2})}^{2}-4a^{2}b^{2}=\\&={(a^{2}+2b^{2})}^{2}-{(2ab)}^{2}=(a^{2}+2b^{2}+2ab)(a^{2}+2b^{2}-2ab)\end{aligned}}$

Un'applicazione

Questa identità permette di risolvere un problema posto nel 1977 nella competizione matematica József Kürschák: dimostrare che $n^{4}+4^{n}$ è composto se $n>1$.

Se $n$ è pari, allora, banalmente, $n^{4}+4^{n}$ è divisibile per 2. Se, invece, $n$ è dispari, allora, posto $n=2k+1$, si ha:

$n^{4}+4^{n}=n^{4}+4^{2k+1}=n^{4}+4\cdot {(2^{k})}^{4}$

che, essendo della forma $a^{4}+4b^{4}$, si può fattorizzare con l'identità di Sophie Germain:

$n^{4}+4\cdot {(2^{k})}^{4}=(n^{2}+2\cdot 2^{2k}+2\cdot n\cdot 2^{k})(n^{2}+2\cdot 2^{2k}-2\cdot n\cdot 2^{k})$

Il risultato discende in maniera immediata dall'osservazione secondo cui, per $n>1$, entrambi i fattori sono interi maggiori di 1.

Bibliografia

• Arthur Engel, Problem-Solving Strategies, New York, Springer, 1999, p. 121, ISBN 0-387-98219-1.
• Carl Johan Ragnarsson, An Interesting Application of the Sophie Germain Identity, in Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem, vol. 26, n. 7, novembre 2000, pp. 426-428.

Voci correlate

• Prodotto notevole
• Sophie Germain