Scomposizione dei polinomi

Espressione di un polinomio come prodotto di polinomi di grado inferiore
(Reindirizzamento da Fattorizzazione dei polinomi)

In matematica, l'espressione scomposizione di un polinomio in fattori, anche chiamata fattorizzazione di un polinomio, significa esprimere un dato polinomio come prodotto di due o più fattori polinomiali di grado inferiore. Ci sono alcuni polinomi che non possono essere espressi come il prodotto di polinomi di grado inferiore e sono detti polinomi irriducibili. La scomposizione dei polinomi è utile nelle operazioni con le frazioni algebriche[1].

Metodi di scomposizione

modifica

Raccoglimento a fattore comune

modifica
  Lo stesso argomento in dettaglio: Raccoglimento a fattor comune.

Significa mettere in evidenza dei numeri, delle lettere o entrambi che dividano tutti o alcuni degli elementi del polinomio. Se il fattore evidenziato divide tutti gli elementi si avrà un raccoglimento totale, se invece il fattore è comune solo ad alcuni, il raccoglimento sarà parziale[2].

Un esempio di raccoglimento totale è:

 

In caso in cui ci siano numeri si calcola il massimo comune divisore. Per esempio:

 

Un esempio di raccoglimento parziale può essere:

 

In questo caso, il risultato ottenuto presenta anch'esso un fattore comune (il binomio  ), e quindi si può procedere a un'ulteriore scomposizione dell'espressione ottenuta:

 

Prodotti notevoli

modifica
  Lo stesso argomento in dettaglio: Prodotti notevoli.

Alcuni polinomi sono il risultato di particolari moltiplicazioni o di elevamenti a potenza di binomi o altri polinomi (prodotti notevoli). Conoscendo in anticipo questi prodotti, è possibile, applicando a ritroso i passaggi, risalire con facilità ai fattori che li compongono.

Alcuni esempi di prodotti notevoli possono essere[3]:

 
 

Da notare attentamente la differenza di segni, in quanto le due espressioni non sono identiche bensì differiscono per il segno comportando una forma scomposta non identica.

Trinomi particolari di secondo grado

modifica

I trinomi di secondo grado si dicono particolari (o caratteristici) quando sono espressi nella forma[4]:

 

nel quale:

  • il coefficiente di   è  ;
  •   e   sono due numeri reali che esprimono rispettivamente la somma e il prodotto delle due radici   e   del trinomio.

Una volta trovati (se esistono) i due numeri   e   tali che   e  , il trinomio è scomponibile nella forma:

 

Ad esempio:

 
 
 

È quindi possibile scomporre il trinomio di secondo grado in questo modo:

 

In generale si avrà che:

 

Trinomi notevoli

modifica
  Lo stesso argomento in dettaglio: Trinomio notevole.

I trinomi di secondo grado sono del tipo:

   

Se il discriminante del trinomio è positivo o nullo ( ), allora il trinomio può essere scomposto come[5]:

 

dove   e   sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado:

 

Regola di Ruffini

modifica
  Lo stesso argomento in dettaglio: Regola di Ruffini.

Dato un generico polinomio  , ad esempio  , se si riesce a trovare un numero   tale che  , allora il polinomio   è divisibile per il binomio di primo grado  , quindi applicando la regola della divisione secondo il teorema del resto si ottiene il polinomio quoziente   il polinomio iniziale   può quindi essere scomposto come[6]:

 

nel caso in cui si possano ottenere tanti numeri   che annullino il polinomio quanto è il grado del polinomio dato, si avrà:

 

Nel polinomio in esempio   si considerino i numeri ottenuti come rapporto tra i divisori del termine noto ed i divisori del coefficiente del termine di grado massimo (per il teorema delle radici razionali), nel nostro caso i numeri   si trova che  ,   e  , quindi si potrà scrivere:

 

Anche se è   a rendere nullo il polinomio, si ricordi che nell'espressione generale il termine   compare in   anteposto da un segno meno, e quindi comporta il cambio di segno di quest'ultimo.

Di seguito un altro esempio: si consideri il polinomio  ; per questo polinomio sarà  . Dato che non è possibile trovare altri numeri per i quali si annulla il polinomio, si dovrà procedere con la divisione mediante la regola di Ruffini; quindi sarà:

 

allora il polinomio si potrà così scomporre:

 

Riassunto delle scomposizioni riconducibili a prodotti notevoli

modifica
  Lo stesso argomento in dettaglio: Prodotti notevoli.

Ecco uno schema riassuntivo di tutte le scomposizioni riconducibili a prodotti notevoli[7]:

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Caso particolare di polinomio con n multiplo di 4

modifica

Sia   con   tali che   multiplo di 4 e   allora risulta la seguente uguaglianza:

 

Esempio:

 
  1. ^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1. p.416
  2. ^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1. p.417
  3. ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8. p.16
  4. ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8. p.17
  5. ^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Matematica.Blu-Volume 2, Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7. p.876
  6. ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8. pp.19-24
  7. ^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.p.418

Bibliografia

modifica
  • Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Bologna, Zanichelli, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.
  • Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.

Voci correlate

modifica

Collegamenti esterni

modifica
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica