Scomposizione dei polinomi

In matematica, l'espressione scomposizione di un polinomio in fattori, anche chiamata fattorizzazione di un polinomio, significa esprimere un dato polinomio come prodotto di due o più fattori polinomiali di grado inferiore. Ci sono alcuni polinomi che non possono essere espressi come il prodotto di polinomi di grado inferiore e sono detti polinomi irriducibili. La scomposizione dei polinomi è utile nelle operazioni con le frazioni algebriche.

Metodi di scomposizione

Raccoglimento a fattore comune

Significa mettere in evidenza dei numeri, delle lettere o entrambi che dividano tutti o alcuni degli elementi del polinomio. Se il fattore evidenziato divide tutti gli elementi si avrà un raccoglimento totale, se invece il fattore è comune solo ad alcuni, il raccoglimento sarà parziale.

Un esempio di raccoglimento totale è:

$AB+AC+AD=A(B+C+D).$

In caso in cui ci siano numeri si calcola il massimo comune divisore. Per esempio:

$3AB+9AC=3A(B+3C).$

Un esempio di raccoglimento parziale può essere:

$AB+AC+B^{2}+BC=A(B+C)+B(B+C).$

In questo caso, il risultato ottenuto presenta anch'esso un fattore comune (il binomio $B+C$), e quindi si può procedere a un'ulteriore scomposizione dell'espressione ottenuta:

$A(B+C)+B(B+C)=(B+C)(A+B).$

Prodotti notevoli

Alcuni polinomi sono il risultato di particolari moltiplicazioni o di elevamenti a potenza di binomi o altri polinomi (prodotti notevoli). Conoscendo in anticipo questi prodotti, è possibile, applicando a ritroso i passaggi, risalire con facilità ai fattori che li compongono.

Alcuni esempi di prodotti notevoli possono essere:

$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$

$x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}.$

Da notare attentamente la differenza di segni, in quanto le due espressioni non sono identiche bensì differiscono per il segno comportando una forma scomposta non identica.

Trinomi particolari di secondo grado

I trinomi di secondo grado si dicono particolari (o caratteristici) quando sono espressi nella forma:

$x^{2}+sx+p$

nel quale:

• il coefficiente di $x^{2}$ è $1$;
• $s$ e $p$ sono due numeri reali che esprimono rispettivamente la somma e il prodotto delle due radici $x_{1}$ e $x_{2}$ del trinomio.

Una volta trovati (se esistono) i due numeri $x_{1}$ e $x_{2}$ tali che $x_{1}+x_{2}=s$ e $x_{1}\cdot x_{2}=p$, il trinomio è scomponibile nella forma:

$x^{2}+sx+p=(x+x_{1})(x+x_{2})$

Ad esempio:

$x^{2}+5x-6$

$s=5=6-1$

$p=-6=6\cdot (-1).$

È quindi possibile scomporre il trinomio di secondo grado in questo modo:

$x^{2}+5x-6=(x-1)(x+6).$

In generale si avrà che:

$x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).$

Trinomi notevoli

I trinomi di secondo grado sono del tipo:

$ax^{2}+bx+c,$ $\;\;\;\;(a,b,c\in \mathbb {R} ,a\neq 0)$

Se il discriminante del trinomio è positivo o nullo ($\Delta \geq 0$), allora il trinomio può essere scomposto come:

$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}),$

dove $x_{1}$ e $x_{2}$ sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado:

$ax^{2}+bx+c=0.$

Regola di Ruffini

Dato un generico polinomio $P(x)$, ad esempio $P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2$, se si riesce a trovare un numero $a$ tale che $P(a)=0$, allora il polinomio $P(x)$ è divisibile per il binomio di primo grado $(x-a)$, quindi applicando la regola della divisione secondo il teorema del resto si ottiene il polinomio quoziente $Q(X),$ il polinomio iniziale $P(x)$ può quindi essere scomposto come:

$P(x)=(x-a)Q(x),$

nel caso in cui si possano ottenere tanti numeri $(a,b,c)$ che annullino il polinomio quanto è il grado del polinomio dato, si avrà:

$\,P(x)=(x-a)(x-b)(x-c),$

Nel polinomio in esempio $P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2$ si considerino i numeri ottenuti come rapporto tra i divisori del termine noto ed i divisori del coefficiente del termine di grado massimo (per il teorema delle radici razionali), nel nostro caso i numeri $+1,-1,+2,-2,$ si trova che $P(1)=0$, $P(-1)=0$ e $P(-2)=0$, quindi si potrà scrivere:

$x^{3}+2x^{2}-x-2=(x-1)(x+1)(x+2).$

Anche se è $-2$ a rendere nullo il polinomio, si ricordi che nell'espressione generale il termine $a$ compare in $(x-a)$ anteposto da un segno meno, e quindi comporta il cambio di segno di quest'ultimo.

Di seguito un altro esempio: si consideri il polinomio $P(x)=x^{3}-2x^{2}+4x-3$; per questo polinomio sarà $P(1)=0$. Dato che non è possibile trovare altri numeri per i quali si annulla il polinomio, si dovrà procedere con la divisione mediante la regola di Ruffini; quindi sarà:

$Q(x)=x^{2}-x+3$

allora il polinomio si potrà così scomporre:

$x^{3}-2x^{2}+4x-3=(x-1)(x^{2}-x+3).$

Riassunto delle scomposizioni riconducibili a prodotti notevoli

Ecco uno schema riassuntivo di tutte le scomposizioni riconducibili a prodotti notevoli:

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b);$

$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2};$

$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2};$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab+2ac-2bc=(a-b+c)^{2};$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)^{2};$

$a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3};$

$a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}.$

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

Caso particolare di polinomio con n multiplo di 4

Sia $(x^{n}+t)$ con $n,t\in N$ tali che $n$ multiplo di 4 e ${\sqrt {2\cdot {\sqrt {t}}}}\in N$ allora risulta la seguente uguaglianza:

$(x^{n}+t)=(x^{n/2}+x^{n/4}\cdot {\sqrt {2\cdot {\sqrt {t}}}}+{\sqrt {t}})\cdot (x^{n/2}-x^{n/4}\cdot {\sqrt {2\cdot {\sqrt {t}}}}+{\sqrt {t}})$

Esempio:

$(x^{4}+4)=(x^{2}+2x+2)\cdot (x^{2}-2x+2)$

Bibliografia

• Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Bologna, Zanichelli, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.
• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.

Voci correlate

• Fattorizzazione
• Frazione algebrica
• Fattore terminale

Collegamenti esterni

• Spiegazione del significato geometrico della scomposizione dei polinomi.