Scomposizione dei polinomi

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In matematica, l'espressione scomposizione di un polinomio in fattori, anche chiamata fattorizzazione di un polinomio, significa esprimere un dato polinomio come prodotto di due o più fattori polinomiali di grado inferiore. Ci sono alcuni polinomi che non possono essere espressi come il prodotto di polinomi di grado inferiore e sono detti polinomi irriducibili. La scomposizione dei polinomi è utile nelle operazioni con le frazioni algebriche[1].

Metodi di scomposizioneModifica

Raccoglimento a fattore comuneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Raccoglimento a fattor comune.

Significa mettere in evidenza dei numeri, delle lettere o entrambi che dividano tutti o alcuni degli elementi del polinomio. Se il fattore evidenziato divide tutti gli elementi si avrà un raccoglimento totale, se invece il fattore è comune solo ad alcuni, il raccoglimento sarà parziale[2].

Un esempio di raccoglimento totale è:

 

In caso in cui ci siano numeri si calcola il massimo comune divisore. Per esempio:

 

Un esempio di raccoglimento parziale può essere:

 

In questo caso, il risultato ottenuto presenta anch'esso un fattore comune (il binomio  ), e quindi si può procedere a un'ulteriore scomposizione dell'espressione ottenuta:

 

Prodotti notevoliModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Prodotti notevoli.

Alcuni polinomi sono il risultato di particolari moltiplicazioni o di elevamenti a potenza di binomi o altri polinomi (prodotti notevoli). Conoscendo in anticipo questi prodotti, è possibile, applicando a ritroso i passaggi, risalire con facilità ai fattori che li compongono.

Alcuni esempi di prodotti notevoli possono essere[3]:

 
 

Da notare attentamente la differenza di segni, in quanto le due espressioni non sono identiche bensì differiscono per il segno comportando una forma scomposta non identica.

Trinomi particolari di secondo gradoModifica

I trinomi di secondo grado si dicono particolari (o caratteristici) quando sono espressi nella forma[4]:

 

nel quale:

  • il coefficiente di   è  ;
  •   e   sono due numeri reali che esprimono rispettivamente la somma e il prodotto delle due radici   e   del trinomio.

Una volta trovati (se esistono) i due numeri   e   tali che   e  , il trinomio è scomponibile nella forma:

 

Ad esempio:

 
 
 

È quindi possibile scomporre il trinomio di secondo grado in questo modo:

 

In generale si avrà che:

 

Trinomi notevoliModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Trinomio notevole.

I trinomi di secondo grado sono del tipo:

   

Se il discriminante del trinomio è positivo o nullo ( ), allora il trinomio può essere scomposto come[5]:

 

dove   e   sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado:

 

Regola di RuffiniModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Regola di Ruffini.

Dato un generico polinomio  , ad esempio  , se si riesce a trovare un numero   tale che  , allora il polinomio   è divisibile per il binomio di primo grado  , quindi applicando la regola della divisione secondo il teorema del resto si ottiene il polinomio quoziente   il polinomio iniziale   può quindi essere scomposto come[6]:

 

nel caso in cui si possano ottenere tanti numeri   che annullino il polinomio quanto è il grado del polinomio dato, si avrà:

 

Nel polinomio in esempio   si considerino i numeri ottenuti come rapporto tra i divisori del termine noto ed i divisori del coefficiente del termine di grado massimo (per il teorema delle radici razionali), nel nostro caso i numeri   si trova che  ,   e  , quindi si potrà scrivere:

 

Anche se è   a rendere nullo il polinomio, si ricordi che nell'espressione generale il termine   compare in   anteposto da un segno meno, e quindi comporta il cambio di segno di quest'ultimo.

Di seguito un altro esempio: si consideri il polinomio  ; per questo polinomio sarà  . Dato che non è possibile trovare altri numeri per i quali si annulla il polinomio, si dovrà procedere con la divisione mediante la regola di Ruffini; quindi sarà:

 

allora il polinomio si potrà così scomporre:

 

Riassunto delle scomposizioni riconducibili a prodotti notevoliModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Prodotti notevoli.

Ecco uno schema riassuntivo di tutte le scomposizioni riconducibili a prodotti notevoli[7]:

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Caso particolare di polinomio con n multiplo di 4Modifica

Sia   con   tali che   multiplo di 4 e   allora risulta la seguente uguaglianza:

 

Esempio:

 

NoteModifica

  1. ^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1. p.416
  2. ^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1. p.417
  3. ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8. p.16
  4. ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8. p.17
  5. ^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Matematica.Blu-Volume 2, Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7. p.876
  6. ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8. pp.19-24
  7. ^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.p.418

BibliografiaModifica

  • Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.
  • Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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