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Nella teoria degli insiemi e in altri campi della matematica, esistono due tipi di insieme complemento: il complemento relativo (detto anche insieme differenza) e il complemento assoluto.

Complemento relativoModifica

 
Il complemento relativo (o la differenza) di   rispetto a  :
 

Avendo due insiemi   e  , il complemento di   rispetto a   o l'insieme differenza   meno  , è formato dai soli elementi di   che non appartengono ad  . Esso si indica solitamente come   oppure come  . Formalmente abbiamo:

 

Si noti che l'insieme differenza   è un sottoinsieme dell'insieme  .

EsempiModifica

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ProposizioniModifica

Se  ,   e   sono insiemi, allora valgono le seguenti identità:

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Complemento assolutoModifica

 
Il complemento assoluto   (in rosso) di   (in bianco):
 

Il complemento assoluto è un caso particolare del complemento relativo.

 
Differenza tra un cubo e una sfera parzialmente sovrapposti

Se è definito un insieme universo  , si definisce complemento assoluto di   come il complemento relativo di   rispetto ad  . Formalmente abbiamo:

 

Il complemento assoluto, indicato anche come  , rappresenta anche il NOT nell'algebra Booleana.

A titolo di esempio, se l'insieme universale è l'insieme dei numeri naturali, allora il complemento dell'insieme dei numeri dispari è l'insieme dei numeri pari.

La prossima proposizione riporta alcune proprietà fondamentali del complemento assoluto in rapporto alle operazioni insiemistiche di unione e intersezione.

Se   e   sono sottoinsiemi di un insieme universo  , allora valgono le seguenti identità.

Leggi di De Morgan:
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Leggi di complementarità:
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  • Se  , allora   (ciò segue dall'equivalenza di una proposizione condizionale con la proposizione contronominale).
Involuzione o legge del doppio complemento:
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Relazioni tra complemento relativo e complemento assoluto:
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Le prime due leggi di complementarità mostrano che se   è un sottoinsieme non vuoto di  , allora   è una partizione di  .

BibliografiaModifica

  • Seymour Lipschutz, Topologia, Sonzogno, Etas Libri, 1979.
  • (EN) Paul Halmos (1960): Naive set theory, D. Van Nostrand Company. Ristampato da Springer nel 1974, ISBN 0-387-90092-6.
  • (FR) Nicolas Bourbaki (1968): Théorie des ensembles, Hermann.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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