Integrale di Fermi-Dirac completo

In matematica, l'integrale di Fermi–Dirac completo, intitolato a Enrico Fermi e Paul Dirac, per un indice j è definito da

$F_{j}(x)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{j}}{e^{t-x}+1}}\,dt,\qquad (j>-1)$

Questo è uguale a

$-\operatorname {Li} _{j+1}(-e^{x}),$

dove $\operatorname {Li} _{s}(z)$ è il polilogaritmo.

La sua derivata è

${\frac {dF_{j}(x)}{dx}}=F_{j-1}(x),$

e questa relazione è usata per definire l'integrale di Fermi-Dirac per indici non positivi j. Notazione diversa per $F_{j}$ appare in letteratura, ad esempio alcuni autori omettono il fattore $1/\Gamma (j+1)$. La definizione usata qui corrisponde a quella nel DLMF del NIST.

Valori speciali

La forma chiusa della funzione esiste per j = 0:

$F_{0}(x)=\ln(1+\exp(x)).$

Bibliografia

• (EN) Izrail Solomonovich Gradshteyn, Iosif Moiseevich Ryzhik e Yuri Veniaminovich Geronimus, 3.411.3., in Zwillinger (a cura di), Table of Integrals, Series, and Products, traduzione di Scripta Technica, Inc., 8ª ed., Academic Press, Inc., 2015 [October 2014], p. 355, ISBN 0-12-384933-0, LCCN 2014010276.
• R.B.Dingle, Fermi-Dirac Integrals, Appl.Sci.Res. B6, 1957, pp. 225–239.

Voci correlate

• Integrale di Fermi-Dirac incompleto
• Funzione gamma
• Polilogaritmo

Collegamenti esterni

• Biblioteca scientifica GNU - Manuale di riferimento
• Calcolatrice integrale Fermi-Dirac per iPhone / iPad
• Note sugli integrali di Fermi-Dirac
• Sezione in NIST Digital Library of Mathematical Functions
• npplus : pacchetto Python che fornisce (tra gli altri) integrali e inverse Fermi-Dirac per diversi ordini comuni.
• Wolfram's MathWorld : definizione data da Wolfram's MathWorld.