In matematica, il polilogaritmo è una funzione speciale che generalizza il logaritmo. Dato un numero complesso, si definisce la funzione polilogaritmo di ordine s e argomento (complesso) z la serie di potenze

se per ogni tale che . Essa può essere estesa a una funzione definita su tutto tramite il prolungamento analitico.

Per il polilogaritmo coincide col classico logaritmo

Per il polilogaritmo è anche chiamato dilogaritmo e per trilogaritmo. Per valori di s interi non positivi il polilogaritmo è una funzione razionale.

Il nome deriva dal fatto che il polilogaritmo può essere definito mediante la ripetizione dell'integrale

quindi il dilogaritmo è l'integrale del logaritmo e così via.

ProprietàModifica

Una formula importante dovuta a Eulero è

 

Per   essa permette di trovare il valore del dilogaritmo di  :

 

L'integrale di Spence è un caso particolare del dilogaritmo. Esistono anche relazioni del dilogaritmo con le funzioni di Debye (vedi Abramowitz e Stegun).

Se  , per   la funzione polilogaritmo di ordine   si riduce alla funzione zeta di Riemann in  :

 

Il polilogaritmo può anche essere scritto in termini di integrale della distribuzione di Bose-Einstein nel seguente modo:è

 

dove   è la funzione Gamma di Eulero. Esso converge per   e per ogni   eccetto gli   minori di  . Questa rappresentazione permette di calcolare il valore di integrali del tipo

 

Casi particolariModifica

 
 
 
 
 
 

Galleria d'immaginiModifica

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

Collegamenti esterniModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica