In fluidodinamica, la legge di Poiseuille (o anche di Hagen-Poiseuille) è una legge costitutiva per un fluido newtoniano in regime laminare, e lega la viscosità alla conducibilità idraulica:[1]

dove:

  • è la conducibilità idraulica specifica;
  • è la viscosità del fluido considerato;
  • è la sezione della condotta.

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DimostrazioneModifica

Si consideri un liquido viscoso che scorre in modo stazionario in una condotta orizzontale a sezione costante e di forma cilindrica. Per risolvere in maniera quantitativa il problema è necessario che la velocità del liquido sia sufficientemente piccola in modo che si crei un flusso laminare a simmetria cilindrica con gli strati esterni del liquido, quelli bagnati dalle pareti aventi velocità nulla e con lo strato centrale avente velocità massima.

Si isoli il sistema fisico costituito dal fluido racchiuso entro il cilindro di raggio r e di lunghezza l avente per basi i due cerchi appartenenti alle sezioni trasversali   e  , dove la pressione vale rispettivamente   e  .

Si consideri come unica forza di volume agente, la forza peso. In questo caso questa risulta inessenziale, essendo il condotto orizzontale.

La forza di superficie normale alle due sezioni è:

 

La forza di superficie di taglio (parallela al cilindro), è data dalla legge di Newton:

 

dove   è la viscosità del liquido e dv/dr è il gradiente di velocità lungo la componente radiale. Per mantenere il moto stazionario è necessario che le forze di pressione compensino esattamente le forze di viscosità. Deve quindi essere:

 

Sostituendo e semplificando si deduce che la pressione varia lungo la condotta, diminuendo nella direzione del moto del fluido e che

la velocità diminuisce dal centro verso la periferia con la legge:

 

integrando si ottiene:

 

dove C è la costante di integrazione, che può essere determinata imponendo la condizione di velocità nulla lungo il contorno v(R)=0, dove R è il raggio equivalente della condotta:

 

da cui si ricava C:

 

Sostituendo C nell'espressione della velocità si ha:

 

Dall'espressione precedente si può determinare la portata volumetrica totale della condotta come integrale di "anelli" di spessore differenziale caratterizzati da velocità   e di differenziale d'area  :

 

da cui, risolvendo l'integrale, si ottiene la legge di Poiseuille:

 

L'enunciato della legge era in effetti originariamente:

La portata è direttamente proporzionale al gradiente di pressione ed al quadrato della superficie, ed inversamente proporzionale alla lunghezza del condotto ed alla viscosità del fluido. Quindi si definisce resistenza fluidodinamica il termine:

 

e la corrispondente conducibilità idraulica è data da:

 

La legge di Poiseuille è largamente usata nel calcolo delle perdite di carico nel moto dei fluidi nelle condotte.

NoteModifica

  1. ^ Silvestroni, p. 201

BibliografiaModifica

  • Paolo Silvestroni, Fondamenti di chimica, 10ª ed., CEA, 1996, ISBN 88-408-0998-8.

Voci correlateModifica

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