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Il lemma di Riemann-Lebesgue afferma che l'integrale della trasformata di una funzione tende ad annullarsi al crescere del numero di oscillazioni della funzione.

In matematica, in particolare nell'analisi armonica, il lemma di Riemann-Lebesgue, il cui nome è dovuto a Bernhard Riemann e Henri Lebesgue, è un teorema che afferma che la trasformata di Fourier o Laplace di una funzione integrabile si annulla all'infinito. Grazie ad esso è possibile dimostrare che è una base per lo spazio di Hilbert .

Il teoremaModifica

Sia   una funzione misurabile. Se   è sommabile allora:

 

La trasformata di Fourier di   tende quindi a   per valori infiniti di  .

Il lemma di Riemann–Lebesgue è valido in diverse situazioni, riportate nel seguito.

  • Se   è in   e definita in  , allora il lemma di Riemann–Lebesgue è valido anche per la trasformata di Laplace  :
 
per   all'interno del semipiano  .
  • Se   è in   e definita su un intervallo limitato, allora i coefficienti di Fourier di   tendono a   per  . Questo fatto si ottiene estendendo   alla funzione nulla al di fuori dell'intervallo, ed applicando il lemma sull'intero asse reale.
  • Il lemma di Riemann–Lebesgue è valido anche per la trasformata di Fourier in più dimensioni. Se  , allora:
 
dove   è la trasformata di Fourier:
 

DimostrazioneModifica

Si consideri il caso monodimensionale, da cui segue senza difficoltà il caso in dimensione arbitraria, e sia   una funzione liscia a supporto compatto. Integrando per parti in ogni variabile:

 

Se   è una funzione integrabile qualsiasi, può essere approssimata in   da una funzione liscia a supporto compatto   tale che  . Si ha allora:

 

e dal momento che questo vale per ogni   segue la tesi.

Nel caso in cui  , si supponga che   sia a supporto compatto su   e che sia differenziabile con continuità. Dette   e   le trasformate (di Fourier o Laplace) rispettivamente di   e  , per le proprietà della trasformata si ha  , da cui   per  . Poiché la funzione in tale forma è densa in  , ciò vale per ogni scelta di  .

BibliografiaModifica

  • (EN) Bochner S, Chandrasekharan K., Fourier Transforms, Princeton University Press, 1949.
  • (EN) Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. 1101, 2000.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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