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Nel calcolo infinitesimale, una funzione integrabile o funzione sommabile rispetto ad un dato operatore integrale è una funzione il cui integrale esiste ed il suo valore è finito.

I due integrali più usati sono l'integrale di Riemann e l'integrale di Lebesgue, e la definizione dipende da quale operatore integrale si utilizza. Data la maggior diffusione e generalità dell'integrale di Lebesgue rispetto agli altri, tuttavia, per funzione integrabile si intende solitamente integrabile secondo Lebesgue.

Nella maggior parte dei casi i termini "integrabile" e "sommabile" sono sinomini, ma può capitare che uno dei due sia usato per il caso più generale di funzioni il cui integrale esiste e può essere infinito.

Integrale di LebesgueModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale di Lebesgue.

Dato uno spazio di misura  , una funzione semplice   è una combinazione lineare finita di funzioni indicatrici di insiemi misurabili.[1]

 

si definisce l'integrale di Lebesgue come:

 

Una funzione   non negativa si dice integrabile secondo Lebesgue se esiste finito l'estremo superiore:[2]

 

dove   è una arbitraria funzione semplice tale che  . L'insieme delle funzioni che soddisfano tale definizione è detto insieme delle funzioni integrabili su X secondo Lebesgue rispetto alla misura  , o anche insieme delle funzioni sommabili, ed è denotato con  .

In generale, una qualsiasi funzione si dice integrabile se lo sono le funzioni non negative:

 
 

che sono rispettivamente la parte positiva e parte negativa di  .

Si definisce in tal caso:[3]

 

Integrale di RiemannModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale di Riemann.

Una funzione   limitata si dice integrabile secondo Riemann se esiste finito il limite:

 

dove   è una arbitraria partizione dell'intervallo   con calibro minore di   (il calibro di una partizione è la massima ampiezza tra i sottointervalli della partizione data),   e:

 

Il limite deve essere inteso nel seguente modo. Per ogni   esiste un   tale che per ogni partizione di   con calibro minore di   e per ogni scelta dei relativi punti   vale:

 

Altri operatori di integrazioneModifica

NoteModifica

  1. ^ W. Rudin, Pag. 15.
  2. ^ W. Rudin, Pag. 19.
  3. ^ W. Rudin, Pag. 24.

BibliografiaModifica

  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

Voci correlateModifica

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