Apri il menu principale

Limite insiemistico

In matematica, il limite di una successione di insiemi, , è un insieme che contiene gli elementi che sono contenuti in un numero infinito di insiemi e che sono esclusi al più da un numero finito di essi.

Successioni monotoneModifica

Una successione di insiemi   viene detta monotona se è:

  • crescente (si indica con  ), ovvero se  ;
  • decrescente (si indica con  ), ovvero se  .

In una successione crescente, fissato un n si ha:

 

Il limite di una successione crescente per n tendente all'infinito è definito da:

 

ed è quindi l'insieme che contiene gli elementi appartenenti a tutti gli insiemi da un certo indice in poi. In simboli:  .

In una successione decrescente, fissato un n si ha:

 

Il limite di una successione decrescente per n tendente all'infinito è definito da:

 

ed è l'insieme che contiene gli elementi contenuti in tutti gli insiemi. In simboli:  .

Successioni qualsiasiModifica

In generale, data una qualsiasi successione di insiemi, si definiscono:

 
l'insieme che contiene gli elementi che appartengono a tutti gli insiemi   a partire da un indice   in poi (non quelli che appartengono solo agli insiemi  , che sono in numero finito);
 
l'insieme che contiene gli elementi che appartengono a tutte le unioni  ; in altri termini, un elemento appartiene al limite superiore se, per qualsiasi  , esiste almeno un indice   tale che l'elemento appartenga ad un insieme   e, perché ciò si verifichi, è sufficiente che l'elemento appartenga ad infiniti insiemi della successione.

La definizione del limite inferiore è più restrittiva e si ha quindi sempre:

 

Se il limite inferiore e quello superiore coincidono, la successione è detta convergente ed il suo limite è:

 

Usando la notazione della funzione indicatrice, si può anche dire che l'insieme limite è definito come:

 

Voci correlateModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica