Matrice irriducibile

In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice che agisce su uno spazio vettoriale si dice riducibile se possiede un sottospazio proprio non banale stabile per , ovvero per cui è contenuto in .

Per ogni matrice riducibile esiste una matrice di cambiamento di base tale che è una matrice triangolare a blocchi:

Una matrice che non è riducibile si dice irriducibile.

Attenzione.

In alcuni contesti, una matrice riducibile è una matrice per cui esiste una matrice di permutazione tale che è triangolare a blocchi.

Irriducibilità e grafo associatoModifica

Data una qualsiasi matrice, posso costruire un grafo avente come nodi gli indici della matrice: in particolare, il nodo  -esimo è connesso al nodo  -esimo se l'elemento   è diverso da  . Il grafo associato si dice fortemente connesso se per ogni coppia   posso raggiungere   a partire da  . Una matrice è irriducibile se e solo se il grafo di adiacenza ad esso associato è fortemente connesso. In altre parole, una matrice è riducibile se e solo se il grafo di adiacenza ad esso associato non è fortemente connesso.

Dimostrazione:

Provo che una matrice è riducibile se e solo se il grafo non è fortemente connesso. Noto che il grafo non varia se permuto gli elementi di una matrice.

  • Suppongo che una matrice sia riducibile, posso portarla pertanto nella forma
 

Sia   la dimensione del blocco  ; i nodi del grafo da   a   non saranno perciò connessi con quelli da   a  , quindi il grafo non è fortemente connesso.

  • Viceversa, sia il grafo non fortemente connesso. In particolare, esiste un nodo   dal quale non posso raggiungere un nodo  , definisco i due insiemi seguenti:   l'insieme dei nodi raggiungibili da   e   l'insieme dei nodi non raggiungibili da  . Noto che tutti i nodi di   non sono raggiungibili dai nodi di  . Dispongo la matrice in modo che su riga e colonna tutti gli indici di   precedano quelli di   ed ottengo una matrice nella forma ridotta desiderata.

BibliografiaModifica

  • D.Bini, M.Capovani, O.Menchi. Metodi Numerici per l'Algebra Lineare. Zanichelli, Bologna 1988.
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