Matrice nilpotente

In algebra lineare una matrice quadrata si dice nilpotente se esiste un intero non negativo tale che

Il più piccolo per cui questo è vero è detto ordine di nilpotenza di

Una matrice nilpotente ha tutti gli autovalori nulli, infatti sia un autovalore di e il suo autovettore, allora:

il che si ottiene se e solo se

da cui segue

EsempiModifica

La matrice

 

è nilpotente, infatti

 

Anche la matrice seguente è nilpotente:

 

infatti:

 

In generale, tutte le matrici triangolari   con ogni elemento sulla diagonale principale uguale a   sono nilpotenti di ordine  .

Non è vero però che le matrici nilpotenti siano necessariamente triangolari. Ad esempio, la seguente matrice   non è triangolare ma è nilpotente di ordine  :

 

infatti:

 

ProprietàModifica

Tutte le matrici simili a una matrice nilpotente sono a loro volta nilpotenti.

DimostrazioneModifica

Si considerino due matrici simili   e   Con   nilpotente di ordine   In quanto simili, esiste una matrice invertibile   tale che  . Allora,

 
 
 

Quindi anche   è nilpotente.

BibliografiaModifica

  • Paolo Dulio, Walter Pacco, Algebra lineare e geometria analitica, Società Editrice Esculapio, ISBN 978-88-7488-838-2.