Matrice nilpotente

In algebra lineare una matrice quadrata si dice nilpotente se esiste un intero non negativo tale che

Il più piccolo per cui questo è vero è detto ordine (o indice) di nilpotenza di

Una matrice nilpotente ha tutti gli autovalori nulli, infatti, sia un autovalore di , allora esiste un vettore (un autovettore di ) tale che , da cui:

siccome , questo accade quando:

da cui segue

EsempiModifica

La matrice

 

è nilpotente, infatti:

 

Anche la matrice seguente è nilpotente:

 

infatti:

 
 
 

Il blocco di Jordan di ordine   associato all'autovalore   è una matrice nilpotente con ordine di nilpotenza  :

 

In generale, tutte le matrici triangolari   con ogni elemento sulla diagonale principale uguale a   sono nilpotenti di ordine  .

Non è vero però che le matrici nilpotenti siano necessariamente triangolari. Ad esempio, la seguente matrice   non è triangolare ma è nilpotente di ordine  :

 

infatti:

 

ProprietàModifica

Ordine di nilpotenzaModifica

Se   è una matrice di ordine   nilpotente di ordine  , allora  .

DimostrazioneModifica

Siccome   è nilpotente di ordine   si ha  , per il teorema di teorema di Hamilton-Cayley si ha che   soddisfa il suo polinomio caratteristico  . Siccome   e   si ha   e   (per Hamilton-Cayley), e quindi  .

Matrici simili e nilpotentiModifica

Tutte le matrici simili a una matrice nilpotente sono a loro volta nilpotenti.

DimostrazioneModifica

Si considerino due matrici simili   e   Con   nilpotente di ordine   In quanto simili, esiste una matrice invertibile   tale che  . Allora

 
 
 

Quindi anche   è nilpotente.

Endomorfismi nilpotentiModifica

Consideriamo uno spazio vettoriale  , definito su un campo e di dimensione  , e sia   un endomorfismo, allora possiamo rappresentare   tramite una matrice quadrata di ordine  , sia essa  . Diciamo che   è un endomorfismo nilpotente di ordine   se e solo se lo è la matrice rappresentativa  .

BibliografiaModifica

  • Paolo Dulio, Walter Pacco, Algebra lineare e geometria analitica, Società Editrice Esculapio, ISBN 978-88-7488-838-2.