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In algebra lineare, il teorema di Hamilton-Cayley, il cui nome è dovuto a William Rowan Hamilton e Arthur Cayley, asserisce che ogni trasformazione lineare di uno spazio vettoriale (o equivalentemente ogni matrice quadrata) è una radice del suo polinomio caratteristico, visto come polinomio a coefficienti numerici nell'anello delle trasformazioni lineari (o delle matrici quadrate).

Più precisamente, se è la trasformazione lineare nello spazio -dimensionale (o, equivalentemente, una matrice ) e è l'operatore identità (o, equivalentemente, la matrice identità), allora vale:

Questo risultato implica che il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico, ed è quindi utile per trovare la forma canonica di Jordan di una applicazione o matrice. Inoltre, rende effettuabile analiticamente il calcolo di qualsiasi funzione di matrice. Il teorema di Hamilton–Cayley vale anche per matrici quadrate su anelli commutativi.

Indice

Il teoremaModifica

Un endomorfismo di uno spazio vettoriale   su un campo   è una trasformazione lineare  . L'insieme degli endomorfismi su  , con le operazioni di addizione, moltiplicazione per scalare e composizione, è una  -algebra denotata con   o  . Analogamente, le matrici quadrate di ordine   a valori in  , con le operazioni di somma, prodotto per scalare e prodotto, formano una  -algebra denotata con   o  .

Se   ha dimensione  , considerando una base   per   si può associare a ogni endomorfismo di   una matrice di   tramite un isomorfismo.

Inoltre, considerando un polinomio   a coefficienti in  , se   è un qualsiasi elemento di una  -algebra si definisce l'elemento   dell'algebra come quello ottenuto da   tramite le operazioni prescritte da   (somma, prodotto per scalare e prodotto fra elementi dell'algebra). In particolare, se   è un endomomorfismo allora   è un endomomorfismo, e se   è una matrice allora   è una matrice.

EnunciatoModifica

Il teorema di Hamilton-Cayley asserisce che se   è un endomorfismo di uno spazio vettoriale   di dimensione finita e   è il suo polinomio caratteristico, allora  .

Analogamente, se   è una matrice quadrata e   il suo polinomio caratteristico, allora  .

EsempioModifica

Si consideri per esempio la matrice:

 

Il suo polinomio caratteristico è dato da:

 

Il teorema di Cayley–Hamilton sostiene che:

 

il che si può facilmente verificare.

ApplicazioniModifica

DiagonalizzabilitàModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: polinomio minimo.

Il teorema introduce alla definizione di polinomio minimo, uno strumento molto potente per verificare se una matrice o applicazione è diagonalizzabile. Ad esempio, in questo modo si verifica rapidamente se una matrice   che soddisfa alcune relazioni polinomiali, quali   oppure  , è diagonalizzabile.

Potenza di matriceModifica

Il teorema permette di calcolare potenze di matrici ad esponente intero più semplicemente che con la moltiplicazione diretta, mentre per il calcolo di potenze ad esponente arbitrario è necessario fare leva anche sulla teoria della funzione di matrice. Ad esempio, usando il risultato precedente:

 
 

si può calcolare   nel modo seguente:

 
 
 

DimostrazioneModifica

Si fornisce una dimostrazione analitica nel caso in cui   sia il campo dei numeri reali o complessi: sia   una matrice quadrata con   righe. Si supponga inizialmente che   sia diagonalizzabile sul campo dei numeri complessi. Quindi   è simile a   diagonale, in altre parole esiste una matrice invertibile   tale che:

 

Le matrici   e   hanno lo stesso polinomio caratteristico, che si fattorizza come:

 

dove   sono gli autovalori di   (con molteplicità), presenti sulla diagonale di  . Qui è facile verificare che   è il prodotto di matrici diagonali con zeri che variano sulla diagonale, e perciò è la matrice nulla. D'altra parte, si verifica che:

 

Si è dimostrato il teorema per le matrici diagonalizzabili. L'insieme delle matrici diagonalizzabili su   formano un insieme denso nello spazio topologico delle matrici   in  . La funzione che associa ad una matrice   la matrice   è continua. Una funzione continua che vale sempre zero su un denso vale zero ovunque, da cui la tesi.

Nel caso di matrici su un campo   qualsiasi, si può ottenere una dimostrazione secondo la traccia seguente. Si estende per cominciare   alla sua chiusura algebrica  . In   la matrice   ha dunque   autovalori (contando le molteplicità), e può quindi essere messa in forma triangolare. Ora per le matrici triangolari il teorema è facilmente verificato, in modo simile a quanto appena visto per le matrici diagonali.

Voci correlateModifica

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