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In algebra lineare il polinomio caratteristico di una matrice quadrata su un campo è un polinomio definito a partire dalla matrice che ne descrive molte proprietà essenziali.

Il polinomio caratteristico è un oggetto che dipende solo dalla classe di similitudine di una matrice, e pertanto fornisce molte informazioni sulla natura intrinseca delle trasformazioni lineari, caratterizzate attraverso la traccia e il determinante. In particolare, le radici del polinomio sono gli autovalori della trasformazione lineare associata alla matrice. I coefficienti del polinomio sono pertanto detti invarianti della matrice e dell'applicazione ad essa associata.

Il polinomio è anche utilizzato per determinare la forma canonica di luoghi geometrici esprimibili mediante matrici, come coniche e quadriche.

DefinizioneModifica

Sia   una matrice quadrata a valori in un campo  . Il polinomio caratteristico di   nella variabile   è il polinomio definito nel modo seguente:[1]

 

cioè è il determinante della matrice  , ottenuta sommando   e  . Qui   denota la matrice identità, avente la stessa dimensione di  , e quindi   è la matrice diagonale avente il valore   su ciascuna delle n caselle della diagonale principale.

In particolare,   è autovalore di   se e solo se è radice del suo polinomio caratteristico.[2]

Grado e coefficienti del polinomioModifica

Sia   una matrice quadrata di ordine  . Il polinomio caratteristico di   ha grado  . Alcuni dei suoi coefficienti sono (a meno di segno) quantità notevoli per la matrice, come la traccia ed il determinante:

 

Il coefficiente di   del polinomio è la somma moltiplicata per   dei   determinanti dei minori   "centrati" sulla diagonale.

Ad esempio, se   è una matrice 2 per 2 si ha:

 

AutovaloriModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Autovettore e autovalore.

Le radici in   del polinomio caratteristico sono gli autovalori di  .[2]

Questo si dimostra formalmente ponendo   autovettore di  . Si ha allora  , ed in particolare:

 

Si ha quindi che il nucleo dell'applicazione   è non nullo se   è autovalore, e tale condizione è soddisfatta se e solo se:

 

Se   è una matrice triangolare (superiore o inferiore) avente i valori   sulla diagonale principale, allora:

 

Quindi il polinomio caratteristico di una matrice triangolare ha   radici nel campo, date dai valori nella diagonale principale. In particolare, questo fatto è vero per le matrici diagonali.

Invarianza per similitudine e diagonalizzabilitàModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Diagonalizzabilità e Similitudine fra matrici.

Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.[3] Infatti, se:

 

per qualche matrice invertibile  , si ottiene:

 
 
 

In tale catena di uguaglianze si fa uso del fatto che la matrice della forma   commuta con qualsiasi altra e del teorema di Binet.

Poiché due matrici che rappresentano un endomorfismo   di uno spazio vettoriale   a dimensione finita sono simili, il polinomio caratteristico è una grandezza intrinseca di   che riassume molte delle caratteristiche dell'endomorfismo considerato, come traccia, determinante ed autovalori. Come conseguenza di questo fatto si ha che   è diagonalizzabile se esiste una base di   rispetto alla quale la matrice che rappresenta   è diagonale, e gli elementi della diagonale sono gli autovalori.[4] In particolare, la base che diagonalizza   è composta da suoi autovettori.

Il teorema di diagonalizzabilità fornisce, inoltre, un criterio necessario e sufficiente che permette di stabilire se un'applicazione lineare è diagonalizzabile. Una matrice quadrata   con n righe è diagonalizzabile se e solo se valgono entrambi i fatti seguenti:

  • La somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è n, ovvero il polinomio caratteristico può essere fattorizzato nel campo attraverso polinomi di primo grado.
  • Le molteplicità algebriche e geometriche di ogni autovalore sono coincidenti, ovvero la dimensione degli autospazi è pari alla molteplicità con la quale il relativo autovalore è radice del polinomio caratteristico. Poiché la molteplicità geometrica è sempre minore o uguale di quella algebrica, se l'applicazione ha n autovalori distinti nel campo allora è diagonalizzabile.

Invarianza per trasposizioneModifica

La matrice trasposta   ha lo stesso polinomio caratteristico di  . Infatti

 

Qui si fa uso del fatto che il determinante è invariante per trasposizione.

EsempiModifica

  • Data:
 
allora:
 
e quindi:
 
Gli autovalori di   sono le radici del polinomio: 4 e 1.
  • Data:
 
in modo analogo si trova:
 

NoteModifica

  1. ^ S. Lang, Pag. 227.
  2. ^ a b S. Lang, Pag. 228.
  3. ^ S. Lang, Pag. 229.
  4. ^ S. Lang, Pag. 114.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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