Misura prodotto

In matematica, una misura prodotto è una misura definita sulla sigma-algebra prodotto di due spazi di misura.

DefinizioneModifica

Siano   e   due spazi di misura. Ad ogni funzione   definita su   e ad ogni   si può associare una funzione   definita in   nel seguente modo:

 

Analogamente si definisce per ogni   la funzione   tale che:

 

Entrambe le funzioni sono rispettivamente  -misurabile e  -misurabile.[1]

Per ogni insieme aperto   si definisce inoltre:

 

Si dimostra che se:

 

allora   è  -misurabile e   è  -misurabile, e si ha:[2]

 

Si definisce la misura   prodotto delle due misure   e   l'integrale:[3]

 

Tale misura è definita sullo spazio   ed è l'unica tale per cui valga la seguente proprietà:

 

L'esistenza di questa misura è garantita dal teorema di Hahn-Kolmogorov, mentre l'unicità è fornita solamente nel caso in cui sia   che   sono σ-finiti.

La misura di Borel sullo spazio euclideo   può essere ottenuta come il prodotto di n copie della misura di Borel sulla retta reale  .

La costruzione opposta alla quella della misura prodotto è la disintegrazione, che in alcuni casi "splitta" una data misura in una famiglia di misure che possono essere integrate per fornire la misura di partenza.

Il Teorema di FubiniModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Fubini.

Il teorema di Fubini stabilisce quali siano le condizioni tali per cui è possibile scambiare l'ordine di integrazione per funzioni misurabili su  . Siano   e   due spazi di misura. Ad ogni funzione   che sia  -misurabile su   e ad ogni   si può associare una funzione   definita in   nel seguente modo:

 

Analogamente si definisce per ogni   la funzione   tale che:

 

Se la funzione   è positiva e se:[4]

 

allora   è  -misurabile e   è  -misurabile, inoltre:

 

In modo equivalente si può scrivere:

 

NoteModifica

  1. ^ W. Rudin, Pag. 138.
  2. ^ W. Rudin, Pag. 139.
  3. ^ W. Rudin, Pag. 140.
  4. ^ W. Rudin, Pag. 141.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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