Teorema di disintegrazione
In matematica, in particolare nell'ambito della teoria della misura e della teoria della probabilità, il teorema di disintegrazione definisce rigorosamente l'idea di una restrizione non banale della misura a un sottoinsieme di misura nulla dello spazio di misura che si utilizza.
La "disintegrazione" può essere vista come la procedura inversa alla costruzione della misura prodotto.
Enunciato modifica
Sia una collezione di misure di probabilità di Borel su uno spazio metrico . Siano inoltre e due spazi di Radon (ovvero spazi metrici separabili sui quali ogni misura di probabilità è una misura di Radon). Considerando una delle misure di probabilità , sia una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Borel e la misura push-forward .
Allora esiste quasi ovunque una famiglia di misure di probabilità tale che:
- la mappatura è una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Borel per ogni insieme misurabile rispetto alla relativa misura di Borel;
- assume valori non nulli sulla fibra , ovvero per quasi tutti (rispetto a ) gli si ha:
- e dunque:
- per ogni funzione Borel-misurabile si ha:
- In particolare, per ogni evento , assumendo che sia la funzione indicatrice di si ha:
Bibliografia modifica
- (EN) Dellacherie, C. & Meyer, P.-A., Probabilities and potential, North-Holland Mathematics Studies, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1978.
- (EN) Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G., Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures, ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel, 2005, ISBN 3-7643-2428-7.
- (EN) J.T. Chang e Pollard, D., Conditioning as disintegration (PDF), in Statistica Neerlandica, vol. 51, n. 3, 1997, p. 287, DOI:10.1111/1467-9574.00056.
Voci correlate modifica
Collegamenti esterni modifica
- (EN) L. Schwartz - Lectures on Disintegration of Measures (PDF), su math.tifr.res.in.
- (EN) Ben Hayes - Disintegration of measures (PDF), su math.ucla.edu. URL consultato il 4 giugno 2014 (archiviato dall'url originale il 7 giugno 2014).