Modello (logica matematica)

nella teoria dei modelli, un'interpretazione che assegna "vero" come valore di verità ad una formula logica
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Un modello di una teoria formale, in logica matematica, è una struttura in cui vengono interpretati gli enunciati della teoria. Sebbene la seguente definizione faccia riferimento alla teoria dei modelli, gli esempi e le definizioni successive fanno riferimento a teoria e logica del primo ordine.

Definizione

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Per una data teoria   in teoria dei modelli, una struttura   è definita come modello se

  1. il linguaggio usato da   è lo stesso usato nella teoria  ,
  2. ogni proposizione in   è soddisfatta da  ,

dove

  1.   è un dominio (di discorso o di interpretazione),
  2.   è una firma (signature),
  3.   è una funzione di interpretazione.

Dominio

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Il dominio   di una struttura   è definito come un insieme arbitrario; è anche detto dominio di discorso in quanto contiene gli elementi dell'ambiente sul quale si vuole effettuare una descrizione o un ragionamento.

Si noti che, se il dominio è usato in una struttura per la logica del primo ordine, allora non può essere vuoto.

Signature

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La signature   di una struttura   è un definita formalmente come una coppia i cui elementi sono

  1.  , l'insieme di simboli di costanti, funzioni o relazioni, ciascuno con un'arietà;
  2. una funzione  , detta di arietà, che associa ad ogni simbolo in   il numero di argomenti che il simbolo accetta.

Per definizione simboli costanti   sono tali che  .

Funzione di interpretazione

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Una funzione di interpretazione   di una struttura   è una funzione che assegna funzioni e relazioni ai simboli definiti nella signature ed è tale che:

  1.  , con   simbolo costante nel dominio di interpretazione;
  2.  , con   simbolo funzionale con arietà   e nel dominio di interpretazione;
  3.  , con   simbolo relazionale con arietà   e nel dominio di interpretazione.

Esempio

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Un esempio di dominio di discorso, può essere un insieme di persone che siamo interessati a descrivere, ad esempio  .

Un esempio di signature   può essere una coppia  , dove

  •  , con
    •   simbolo funzionale,
    •   simbolo relazionale,
    • e   simboli costanti;
  •   funzione di arietà tale che:
    •  
    •  
    •  

Facendo riferimento agli esempi di dominio e signature visti sopra, una possibile funzione di interpretazione può essere   tale che:

  •  
  •   tale che  
  •  

Soddifacibilità per logiche del primo ordine

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Un modello per una formula ben formata di un linguaggio del primo ordine è un modello per il linguaggio in cui l'interpretazione della formula risulti vera. Una formula è detta

  • valida se è vera per tutti i modelli;
  • soddisfacibile se esiste almeno un modello rispetto al quale è vera;
  • insoddisfacibile se non esiste nessun modello in cui è vera.

Per esempio, una formula valida può essere  , una soddisfacibile può essere  , una insoddisfacibile può essere  .

Modelli di teorie assiomatiche

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Un modello per una teoria del primo ordine è un modello per il suo linguaggio per cui siano vere tutte le formule che sono assiomi della teoria, e di conseguenza saranno verificate nel modello tutte le formule corrispondenti ai teoremi della teoria.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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