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Oscillatore armonico quantistico

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Oscillatore armonico quantisticoModifica

 
Energia potenziale e densità di probabilità associate allo stato fondamentale e ai primi stati eccitati dell'oscillatore armonico.

Risolvere un sistema in meccanica quantistica significa trovare gli autostati dell'operatore hamiltoniano ed i corrispondenti autovalori dell'energia, ovvero risolvere l'equazione di Schrödinger e trovare la funzione d'onda che descrive il sistema. Non tutte le soluzioni dell'equazione di Schrödinger sono accettabili: l'energia potenziale non può essere infinita. Questo implica che la distanza tra le particelle che costituiscono l'oscillatore non può essere mai zero o infinita.

Secondo il principio di corrispondenza, come nel caso classico l'hamiltoniana del sistema vale:

 

Dove abbiamo supposto che il sistema sia unidimensionale.

Nel caso di un sistema tridimensionale, l'hamiltoniana totale si può scindere in somma di tre hamiltoniane indipendenti, una per ogni dimensione.

Esistono due modi per risolvere questo sistema: uno analitico, che si basa sulla soluzione della equazione di Schrödinger ed uno algebrico, che si basa esclusivamente sull'algebra degli operatori   ed   (vedi commutatore), metodo messo a punto da Paul Adrien Maurice Dirac.

Metodo analiticoModifica

L'equazione di Schrödinger per l'oscillatore armonico nella rappresentazione delle coordinate è:

 

che può essere scritta come:

 

Introduciamo due variabili adimensionali:

 

Sostituendo nell'equazione di Schrödinger si ha:

 

Per valori di   grandi, tali da poter trascurare  , l'andamento asintotico della funzione deve essere del tipo:

 

Il segno + deve essere scartato in quanto le soluzioni non sarebbero normalizzabili[1], per cui:

 

Poniamo, quindi:

 

Dove, sostituendo, si ottiene per  , la seguente equazione:

 

Per avere la soluzione generale, espandiamo in serie di potenze la funzione  :

 

Sostituendo nell'equazione differenziale e raggruppando i termini con potenze uguali si ottiene che:

 

E affinché questo sia vero tutti i coefficienti devono essere nulli:

 

Una volta noti   ed  , da questa equazione si possono ottenere tutti gli altri coefficienti  .

In particolare, si ha:

 

Per cui da un certo punto in poi questa serie si comporta come la serie:

 

e la funzione d'onda si comporta come:

 

Come già detto una funzione d'onda di questo tipo non è normalizzabile, per cui l'unico modo per avere soluzioni fisicamente accettabili è che lo sviluppo in serie di   sia finito, e che esso sia, in altri termini un polinomio. Affinché questo avvenga deve esistere un intero n, positivo o nullo, tale che:

 

Infatti, utilizzando la relazione di ricorrenza, otteniamo:

 

Gli   sono quantizzati, dunque le energie sono quantizzate e valgono:

 

La funzione d'onda dello stato n è, quindi:

 

Dove gli

 

sono i polinomi di Hermite.

Metodo di calcolo dei polinomi di HermiteModifica

Un modo per calcolare i polinomi Hn è quello di fissare i coefficienti  ,   ai valori:

 

e di utilizzare la relazione di ricorrenza:

 

per calcolare gli altri coefficienti Am<n.

Così, ad esempio, per  , troviamo:

 

per  , dobbiamo porre:

 

per  , otteniamo:

 

da cui segue

 

Infine, per  , i coefficienti

 

generano, mediante la relazione di ricorrenza

 

Pertanto,

 

In maniera simile, possiamo ricavare gli altri polinomi di Hermite.

Autofunzioni dell'oscillatore armonicoModifica

Sebbene normalizzabili le funzioni   non sono a norma unitaria, mentre, in genere gli stati in meccanica quantistica vengono scelti a norma unitaria. Quello che si fa è di inserire una costante moltiplicativa  , in generale dipendente dal livello, per assicurare la norma unitaria.

In particolare le funzioni dello stato fondamentale e dei primi livelli eccitati valgono:

 
 
 
 

In generale, si ha

 

I valori medi e gli scarti quadratici medi della posizione e della quantità di moto, sugli autostati dell'Hamiltoniano, si ottengono con semplici integrali gaussiani

 
 
 
 

In accordo col principio d'indeterminazione, troviamo

 

e la minima indeterminazione si ha per n=0.

Metodo algebricoModifica

Per semplicità, da qui in poi, sebbene sia uso indicare gli operatori con un cappelletto, indicheremo gli operatori senza questo segno di distinzione, poiché non c'è alcun problema di ambiguità.

Si definiscono, prima di tutto, due nuovi operatori adimensionali   e  , nel modo seguente:

 

L'hamiltoniana H del sistema si potrà scrivere come:

 

dove:

 

Il commutatore tra   e tra   vale:

 

Si introducono, poi, altri due operatori   ed  , definiti nel modo seguente:

 
 

Il commutatore tra   e tra   vale:

 

Per motivi che saranno chiariti in seguito, l'operatore   viene chiamato operatore di distruzione, mentre l'operatore   viene chiamato operatore di creazione.

Possiamo calcolare il prodotto tra   ed  :

 

ma:

 

quindi [2]:

 
 

Si può introdurre ancora un nuovo operatore, detto operatore numero  , così definito:

 

e l'hamiltoniana diventa, allora:

 

Adesso abbiamo tutti gli elementi in mano per risolvere il sistema.

Come detto nell'introduzione dobbiamo trovare gli stati del sistema e i valori dell'energia.

Supponiamo che   sia uno stato del sistema con energia  , si deve, quindi, risolvere l'equazione:[3]

 

e per fare questo dobbiamo trovare gli autostati dell'operatore  :

 

Per trovare i valori possibili di   si devono dimostrare alcune proprietà.

Teorema 1Modifica

I valori propri dell'operatore   sono positivi o nulli.

L'equazione precedente si può scrivere, esplicitando  :

 

Proiettando sullo stato   si ha:

 

In quanto gli stati di un sistema hanno norma unitaria per definizione.

Ma si ha anche:

 

Quindi:

 

Quindi, per definizione della norma di un vettore si ha che  ≥0.
CVD.

Teorema 2Modifica

Se   è un autostato di   di autovalore  , allora   è un autostato di   di autovalore  .

Si ha:

 

Ma, usando la relazione di commutazione di   ed   si ottiene che:

 

Per cui, sostituendo:

 

CVD.

Teorema 3Modifica

Se   è autostato di   con autovalore  , allora   è autostato di   con autovalore  .

Si ha:

 

CVD.


Con l'aiuto di questi teoremi possiamo trovare gli autovalori di  . Supponiamo che l'autovalore   sia positivo, non nullo e non intero e sia n la parte intera di  .

Lo stato   è un autostato con autovalore  , lo stato   è un autostato con autovalore  ,..., lo stato   è un autostato con autovalore  , numero che è compreso tra 0 ed 1.

Applicando un'altra volta l'operatore   si ottiene lo stato  , di autovalore  , numero che è negativo. Questo va contro il teorema 1, secondo il quale gli autovalori di   sono positivi o nulli, quindi il numero   deve essere intero (positivo o nullo, per il teorema 1), in modo tale che il vettore   sia il vettore nullo e che il vettore   non esista.

Poiché a partire da un autostato   qualsiasi si può ottenere un qualsiasi altro autostato, tramite opportuna applicazione degli operatori   ed  , segue che gli autovalori di   sono tutti i numeri naturali.

Ma gli autovalori di   sono anche quelli di H, per cui le energie degli autostati dell'oscillatore armonico sono quantizzate e valgono:

 

e gli autostati dell'energia sono gli autostati   dell'operatore numero.

Si noti che sebbene l'oscillatore armonico è un sistema oscillante gli autostati dell'operatore numero (e quindi dell'energia) sono stati stazionari, cioè non evolvono nel tempo.

Operatori di creazione e di distruzioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Operatori di creazione e annichilazione.

Vediamo adesso come agiscono gli operatori di creazione e di distruzione   ed  .

Dal teorema 2 sappiamo che lo stato   è un autostato di   con autovalore  , e supponendo che i livelli di energia dell'oscillatore unidimensionale non siano degeneri,[4] si ha che:

 

La norma di questo vettore vale n,[5] quindi:

 

e:

 

In modo assolutamente identico si può mostrare che:

 

Si comprende, quindi, la terminologia introdotta da Dirac: l'operatore   fa passare il sistema dallo stato di energia n allo stato di energia n-1, esso, quindi, distrugge un quanto di energia; analogamente l'operatore   fa passare i sistema dallo stato di energia n allo stato di energia n+1, esso, quindi, crea un quanto di energia.

Noto lo stato fondamentale, si può ottenere, per ricorrenza, tutta la base degli autostati di  :

 

Utili relazioni, spesso utilizzate nei problemi, tra gli operatori posizione e impulso con a+ e a si ottengono esprimendo i primi in funzione dei secondi:

 
 

con analoghe relazioni per x2 e p2. Queste espressioni degli operatori vengono usate spesso in quanto agiscono in modo semplice sugli autoket dell'energia e permettono di evitare complicati prodotti scalari utilizzando le funzioni d'onda nella base della posizione o dell'impulso.

Lo stato fondamentaleModifica

Abbiamo dimostrato che l'energia di uno stato   generico vale:

 

Per cui l'energia dello stato fondamentale vale:

 

Contrariamente al caso classico l'energia dello stato fondamentale non è nulla e questo è in totale accordo con il principio di indeterminazione di Heisenberg.

Mettiamoci in un'ottica semiclassica. Ricordiamo che il principio di indeterminazione dice che:

 

che, per lo stato fondamentale dell'oscillatore armonico vale con il segno uguale (minima indeterminazione).

Il valore medio dell'hamiltoniana è dato da:

 

e dal principio di indeterminazione si ricava che:

 

Sostituendo nel valore medio dell'hamiltoniana si ottiene:

 

il minimo di questa espressione (ciò che equivale a mettersi nello stato fondamentale) si ha per:

 

Valore per il quale si ha:

 

Ovvero l'energia dello stato fondamentale.

Legame tra metodo analitico e metodo algebricoModifica

Per trovare il legame tra il metodo analitico e quello algebrico si deve usare l'espressione esplicita degli operatori   ed  , in rappresentazione di Schroedinger delle coordinate.

Cominciamo dallo stato fondamentale, usando la relazione:

 

ovvero:

 

Esplicitando e rimaneggiando un po' l'espressione:

 

La soluzione di questa equazione è un esponenziale:

 

Le funzioni che descrivono gli altri stati si trovano per ricorrenza, tramite applicazione dell'operatore  , espresso in termini di   e   alla funzione dello stato fondamentale  .

Come si vede, quindi in entrambi i metodi si trova che l'energia è quantizzata, e che assume dei valori dipendenti dal numero quantico n del livello del sistema.

Le espressioni dell'energia sono identiche in entrambi i casi e le funzioni d'onda che si trovano sono le stesse: i due metodi, quindi, sono completamente equivalenti ed usare l'uno o l'altro per risolvere il sistema dipende dal gusto personale.

NoteModifica

  1. ^ Per norma si intende in questo caso il seguente integrale:
     
    Ovviamente, poiché si ha:
     
    l'integrale non converge, mentre si ha:
     
    e quindi l'integrale della norma converge. Anche intuitivamente è difficile supporre che una particella tenda ad allontanarsi dall'origine quando c'è una forza di richiamo che tende a farla ritornare al punto di partenza.
  2. ^ Espressioni del tipo:
     
    vanno intese evidentemente come:
     
    dove   è l'operatore identità; Stesso discorso vale per i commutatori, ad esempio, si dovrebbe scrivere:
     
    Tuttavia, per alleggerire la notazione, normalmente, si omette di indicare l'operatore I.
  3. ^ In pratica si devono trovare gli autostati e gli autovalori dell'operatore H.
  4. ^ Ciò vuol dire che ad ogni valore di energia corrisponde un solo stato quantistico. Si noti che questo è vero solo nel caso dell'oscillatore in una dimensione, gli stati dell'energia nell'oscillatore a due o a tre dimensioni sono degeneri.
  5. ^ Vedi la dimostrazione del teorema 1.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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