Operatori di creazione e distruzione

In meccanica quantistica, gli operatori di creazione e distruzione sono operatori che rispettivamente aumentano o riducono di uno il numero di particelle di uno stato quantistico. L'operatore di distruzione (o di annichilazione) è l'operatore aggiunto dell'operatore di creazione.

Gli operatori di creazione e distruzione possono agire su stati di vari tipi di particelle. Sono paragonabili agli operatori scaletta dell'oscillatore armonico quantistico, che aggiungono o rimuovono un quanto di energia al sistema; in questo caso l'operatore di innalzamento è considerato di creazione. In seguito il loro uso è stato generalizzato a molti altri problemi e in generale la loro introduzione è alla base della fondazione della teoria quantistica dei campi e della seconda quantizzazione. Ne esiste anche una versione classica (in cui non sono operatori ma campi), utilizzata nello studio delle onde non lineari (in particolare in turbolenza d'onda).

Definizione

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L'operatore di creazione   e l'operatore di annichilazione   possono essere definiti semplicemente sulla base della loro azione quando sono applicati su uno stato quantico. Supponiamo che   sia uno stato quantistico contenente   particelle, o   quanti di energia, allora possiamo assumere come definizione implicita dell'operatore di annichilazione l'espressione

 ,

ovvero l'operatore di annichilazione applicato allo stato con n particelle, ne ha generato un altro che contiene una particella in meno. Equivalentemente, si può definire l'operatore di creazione   attraverso l'espressione

 .

In questo modo dallo stato fondamentale del sistema, che possiamo - ad esempio nel caso di una teoria di campo delle particelle elementari - identificare con il vuoto, tutti gli altri stati possono essere costruiti applicando l'operatore di creazione:

 

Oscillatore armonico quantistico

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  Lo stesso argomento in dettaglio: Oscillatore armonico quantistico.

Si comprende, quindi, la terminologia introdotta da Dirac nel caso dell'oscillatore armonico quantistico: l'operatore   fa passare il sistema dallo stato di energia n allo stato di energia n-1, esso, quindi, distrugge un quanto di energia; analogamente l'operatore   fa passare il sistema dallo stato di energia n allo stato di energia n+1, esso, quindi, crea un quanto di energia. Noto lo stato fondamentale, si può ottenere, per ricorrenza, tutta la base degli autostati dell'hamiltoniana e di  :

 

Rappresentazione matriciale

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Le componenti matriciali degli operatori bosonici di creazione e annichilazione per l'oscillatore armonico quantistico sono:

 
 

Questi valori sono stati ottenuti utilizzando le seguenti relazioni:

 

 

e

 

 

Operatori di costruzione e distruzione in teoria quantistica dei campi

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In teoria quantistica dei campi e nei problemi a molti corpi si lavora con operatori di creazione e distruzione di stati quantistici,   and  . Questi operatori cambiano il valore dell'operatore numero,

 ,

di uno, in analogia al caso dell'oscillatore armonico. Gli indici (ad esempio  ) rappresentano i numeri quantici che etichettano gli stati di singola particella del sistema e non sono necessariamente numeri singoli. Per esempio, una ennupla di numeri quantici   viene usata per etichettare gli stati dell'atomo di idrogeno.

Le relazioni di commutazione degli operatori di creazione e distruzione in un sistema multiplo di bosoni sono,

 
 

dove   è il commutatore è   la delta di Kronecker.

Per i fermioni, il commutatore è sostituito dall'anticommutatore  ,

 
 

Bibliografia

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  • Steven Weinberg. La teoria quantistica dei campi. Bologna, Zanichelli, 1998. ISBN 8808178943
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Voci correlate

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Collegamenti esterni

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