Operatori di creazione e distruzione

In meccanica quantistica, gli operatori di creazione e distruzione sono operatori che rispettivamente aumentano o riducono di uno il numero di particelle di uno stato quantistico. L'operatore di distruzione (o di annichilazione) è l'operatore aggiunto dell'operatore di creazione.

Gli operatori di creazione e distruzione possono agire su stati di vari tipi di particelle. Sono paragonabili agli operatori scaletta dell'oscillatore armonico quantistico, che aggiungono o rimuovono un quanto di energia al sistema; in questo caso l'operatore di innalzamento è considerato di creazione. In seguito il loro uso è stato generalizzato a molti altri problemi e in generale la loro introduzione è alla base della fondazione della teoria quantistica dei campi e della seconda quantizzazione. Ne esiste anche una versione classica (in cui non sono operatori ma campi), utilizzata nello studio delle onde non lineari (in particolare in turbolenza d'onda).

DefinizioneModifica

L'operatore di creazione   e l'operatore di annichilazione   possono essere definiti semplicemente sulla base della loro azione quando sono applicati su uno stato quantico. Supponiamo che   sia uno stato quantistico contenente   particelle, o   quanti di energia, allora possiamo assumere come definizione implicita dell'operatore di annichilazione la seguente espressione:

 

ovvero l'operatore di annichilazione applicato allo stato con n particelle, ne ha generato un altro che contiene una particella in meno. In modo assolutamente identico si può mostrare che:

 

In questo modo dallo stato fondamentale del sistema, che possiamo - ad esempio nel caso di una teoria di campo delle particelle elementari - identificare con il vuoto, tutti gli altri stati possono essere costruiti applicando l'operatore di creazione:

 

Oscillatore armonico quantisticoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Oscillatore armonico quantistico.

Si comprende, quindi, la terminologia introdotta da Dirac nel caso dell'oscillatore armonico quantistico: l'operatore   fa passare il sistema dallo stato di energia n allo stato di energia n-1, esso, quindi, distrugge un quanto di energia; analogamente l'operatore   fa passare il sistema dallo stato di energia n allo stato di energia n+1, esso, quindi, crea un quanto di energia. Noto lo stato fondamentale, si può ottenere, per ricorrenza, tutta la base degli autostati dell'hamiltoniana e di  :

 

Rappresentazione matricialeModifica

Le componenti matriciali degli operatori bosonici di creazione e annichilazione per l'oscillatore armonico quantistico sono:

 
 

Questi valori sono stati ottenuti utilizzando le seguenti relazioni:

 

 

e

 

 

Operatori di costruzione e distruzione in teoria quantistica dei campiModifica

In teoria quantistica dei campi e nei problemi a molti corpi si lavora con operatori di creazione e distruzione di stati quantistici,   and  . Questi operatori cambiano il valore dell'operatore numero,

 ,

di uno, in analogia al caso dell'oscillatore armonico. Gli indici (ad esempio  ) rappresentano i numeri quantici che etichettano gli stati di singola particella del sistema e non sono necessariamente numeri singoli. Per esempio, una ennupla di numeri quantici   viene usata per etichettare gli stati dell'atomo di idrogeno.

Le relazioni di commutazione degli operatori di creazione e distruzione in un sistema multiplo di bosoni sono,

 
 

dove   è il commutatore è   la delta di Kronecker.

Per i fermioni, il commutatore è sostituito dall'anticommutatore  ,

 
 

BibliografiaModifica

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  • Steven Weinberg. La teoria quantistica dei campi. Bologna, Zanichelli, 1998. ISBN 8808178943
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Voci correlateModifica

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