Operatore di Stokes

L'operatore di Stokes, che prende il nome da George Gabriel Stokes, è un operatore lineare limitato usato nella teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali, particolarmente in fluidodinamica ed elettromagnetismo.

Definizione

L'operatore di Stokes $A$ è definito come

$A:=-P_{\sigma }\Delta ,$

dove $P_{\sigma }$ è la proiezione di Leray e $\Delta \equiv \nabla ^{2}$ è il laplaciano. $A$ è definito su ${\mathcal {D}}(A)=H^{2}\cap V$, dove $V=\{{\vec {u}}\in (H_{0}^{1}(\Omega ))^{n}|\operatorname {div} \,{\vec {u}}=0\}$. $\Omega$ è un insieme aperto limitato in $\mathbb {R} ^{n}$, $H^{2}(\Omega )$ e $H_{0}^{1}(\Omega )$ sono spazi di Sobolev, e la divergenza di ${\vec {u}}$ è nel senso delle distribuzioni.

Proprietà

Per un dato dominio $\Omega$ aperto, limitato e con contorno in $C^{2}$, l'operatore di Stokes $A$ è un operatore autoaggiunto definito positivo rispetto al prodotto interno di $L^{2}$. Ha una base ortonormale di autofunzioni $\{w_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ che corrispondono agli autovettori $\{\lambda _{k}\}_{k=1}^{\infty }$ che soddisfa

$0<\lambda _{1}<\lambda _{2}\leq \lambda _{3}\cdots \leq \lambda _{k}\leq \cdots$

con $\lambda _{k}\rightarrow \infty$ per $k\rightarrow \infty$. Il più piccolo degli autovettori è unico e non nullo. Queste proprietà permettono di definire le potenze dell'operatore di Stokes. Sia $\alpha >0$ un numero reale, allora $A^{\alpha }$ può essere definito tramite la sua azione su ${\vec {u}}\in {\mathcal {D}}(A)$:

$A^{\alpha }{\vec {u}}=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}^{\alpha }u_{k}{\vec {w_{k}}}$

dove $u_{k}:=({\vec {u}},{\vec {w_{k}}})$ e $(\cdot ,\cdot )$ è il prodotto interno di $L^{2}(\Omega )$.

L'inverso $A^{-1}$ dell'operatore di Stokes è un operatore compatto e autoaggiunto nello spazio $H:=\{{\vec {u}}\in (L^{2}(\Omega ))^{n}|\operatorname {div} \,{\vec {u}}=0{\text{ e }}\gamma ({\vec {u}})=0\}$, dove $\gamma$ è l'operatore traccia. Inoltre, $A^{-1}:H\rightarrow V$ è iniettivo.

Bibliografia

• Roger Temam, Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, AMS Chelsea Publishing, 2001, ISBN 0-8218-2737-5.
• Constantin, Peter and Foias, Ciprian. Navier-Stokes Equations, University of Chicago Press, (1988)