Proiezione di Leray

La proiezione di Leray, che prende il nome da Jean Leray, è un operatore lineare usato nella teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali, in particolare in fluidodinamica. Informalmente, può essere visto come la proiezione sulla componente solenoidale del campo vettoriale. È usata per eliminare il termine di pressione e il termine solenoidale dalle equazioni di Stokes e di Navier-Stokes.

Definizione

Tramite teoria degli operatori pseudo-differenziali

La proiezione di Leray $\mathbb {P}$ di un campo vettoriale $\mathbf {u}$ (in qualsiasi dimensione $n\geq 2$) è definita come

$\mathbb {P} (\mathbf {u} )=\mathbf {u} -\nabla \Delta ^{-1}(\nabla \cdot \mathbf {u} ).$

nel senso degli operatori pseudo-differenziali: il suo moltiplicatore di Fourier (a valori matriciali) $m(\xi )$ è dato da

$m(\xi )_{kj}=\delta _{kj}-{\frac {\xi _{k}\xi _{j}}{\vert \xi \vert ^{2}}},\quad 1\leq k,j\leq n.$

Qui $\delta$ è il delta di Kronecker. Formalmente, significa che per ogni $\mathbf {u} \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})^{n}$ si ha

$\mathbb {P} (\mathbf {u} )_{k}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\delta _{kj}-{\frac {\xi _{k}\xi _{j}}{\vert \xi \vert ^{2}}}\right){\widehat {\mathbf {u} }}_{j}(\xi )\,e^{i\xi \cdot x}\,\mathrm {d} \xi ,\quad 1\leq k\leq n$

dove ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ è lo spazio di Schwartz e le somme sono espresse in notazione di Einstein.

Tramite decomposizione di Helmholz–Leray

Un campo vettoriale $\mathbf {u}$ può essere decomposto come

$\mathbf {u} =\nabla q+\mathbf {v} ,\quad {\text{with}}\quad \nabla \cdot \mathbf {v} =0.$

A differenza della decomposizione di Helholtz, la decomposizione di Helmholtz-Leray di $\mathbf {u}$ è unica (a meno di una costante additiva per $q$). Quindi $\mathbb {P} (\mathbf {u} )$ può essere definita come

$\mathbb {P} (\mathbf {u} )=\mathbf {v} .$

Proprietà

La proiezione di Leray soddisfa le seguenti proprietà notevoli:

1. È una proiezione: $\mathbb {P} [\mathbb {P} (\mathbf {u} )]=\mathbb {P} (\mathbf {u} )$ per ogni $\mathbf {u} \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})^{n}$.
2. È un operatore solenoidale: $\nabla \cdot [\mathbb {P} (\mathbf {u} )]=0$ per ogni $\mathbf {u} \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})^{n}$.
3. È l'identità per i campi solenoidali: $\mathbb {P} (\mathbf {u} )=\mathbf {u}$ per ogni $\mathbf {u} \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})^{n}$ tale che $\nabla \cdot \mathbf {u} =0$.
4. Si annulla sui campi vettoriali relativi a un potenziale scalare: $\mathbb {P} (\nabla \phi )=0$ per ogni $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$.

Applicatione alle equazioni di Navier-Stokes

Le equazioni di Navier-Stokes per fluidi incomprimibili sono

${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}-\nu \,\Delta \mathbf {u} +(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nabla p=\mathbf {f}$

$\nabla \cdot \mathbf {u} =0$

dove $\mathbf {u}$ è la velocità del fluido, $p$ la pressione, $\nu >0$ la viscosità e $\mathbf {f}$ la forza di volume esterna.

Applicando la proiezione di Leray alla prima equazione e usandone le proprietà, si ottiene

${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nu \,\mathbb {S} (\mathbf {u} )+\mathbb {B} (\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=\mathbb {P} (\mathbf {f} )$

dove

$\mathbb {S} (\mathbf {u} )=-\mathbb {P} (\Delta \mathbf {u} )$

è l'operatore di Stokes e la forma bilineare $\mathbb {B}$ è definita come

$\mathbb {B} (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbb {P} [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} ].$

Per semplicità si può assumere in generale che $\mathbf {f}$ sia solenoidale, quindi $\mathbb {P} (\mathbf {f} )=\mathbf {f}$; questo può essere sempre imposto, aggiungendo alla pressione il termine $\mathbf {f} -\mathbb {P} (\mathbf {f} )$.

Bibliografia

• Roger Temam, Navier–Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, AMS Chelsea Publishing, 2001, ISBN 0-8218-2737-5.
• Constantin, Peter and Foias, Ciprian. Navier–Stokes Equations, University of Chicago Press, (1988)