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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando la forma sesquilineare simmetrica definita positiva, vedi Forma sesquilineare#Prodotto interno.

In matematica, il prodotto interno o derivata interna è una derivazione di grado −1 sull'algebra esterna delle forme differenziali su varietà lisce.

DefinizioneModifica

Dato uno spazio vettoriale  , detto   l'insieme delle  -forme su  , per ogni vettore   si definisce   l'applicazione

 
 

per cui

 

Pertanto, il prodotto interno agisce su una  -forma restituendo una  -forma data dalla contrazione della forma differenziale con il vettore associato al prodotto.

A partire dalla definizione è facile dimostrare alcune proprietà del prodotto interno:

  • Linearità in  
  • Linearità in  
  • Regola di Leibniz graduata:  
  • Anticommutatività:  

Dall'anticommutatività discende immediatamente la nilpotenza, ovvero  . Tale proprietà, unità alla validità della regola di Leibniz graduata, rende il prodotto interno un'operazione di derivazione, in questo caso di grado   perché la forma di arrivo è di un ordine inferiore rispetto a quella di partenza.

BibliografiaModifica

  • (EN) John Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Springer, 2002.
  • (EN) James Munkres, Analysis on Manifolds, Westview Press, 1990.
  • (EN) Richard Bishop, Samuel Goldberg, Tensor Analysis on Manifolds, Dover, 1980, ISBN 978-0-486-64039-6.