Prodotto interno

In matematica, il prodotto interno o derivata interna è una derivazione di grado −1 sull'algebra esterna delle forme differenziali su varietà lisce.

Definizione

Dato uno spazio vettoriale $V$, detto $\Lambda ^{p}V$ l'insieme delle $p$-forme su $V$, per ogni vettore $X\in V$ si definisce $\iota _{X}$ l'applicazione

$\iota _{X}:\Lambda ^{p}V\to \Lambda ^{p-1}V$

$\omega \mapsto \iota _{X}\omega$

per cui

$(\iota _{X}\omega )(X_{1},\dots ,X_{p-1})=\omega (X,X_{1},\dots ,X_{p-1})$

Pertanto, il prodotto interno agisce su una $p$-forma restituendo una $(p-1)$-forma data dalla contrazione della forma differenziale con il vettore associato al prodotto.

A partire dalla definizione è facile dimostrare alcune proprietà del prodotto interno:

• Linearità in $\omega$
• Linearità in $X$
• Regola di Leibniz graduata: $\iota _{X}(\omega \wedge \xi )=(\iota _{X}\omega )\wedge \xi +(-1)^{p}\omega \wedge \iota _{X}\xi \qquad \omega \in \Lambda ^{p}$
• Anticommutatività: $\iota _{X}\iota _{Y}+\iota _{Y}\iota _{X}=0$

Dall'anticommutatività discende immediatamente la nilpotenza, ovvero $\iota _{X}^{2}=0$. Tale proprietà, unità alla validità della regola di Leibniz graduata, rende il prodotto interno un'operazione di derivazione, in questo caso di grado $-1$ perché la forma di arrivo è di un ordine inferiore rispetto a quella di partenza.

Bibliografia

• (EN) John Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Springer, 2002.
• (EN) James Munkres, Analysis on Manifolds, Westview Press, 1990.
• (EN) Richard Bishop, Samuel Goldberg, Tensor Analysis on Manifolds, Dover, 1980, ISBN 978-0-486-64039-6.