Paradosso dei due bambini

Viene detto paradosso dei due bambini un celebre quesito della teoria della probabilità, apparentemente semplice ma in realtà ambiguo e il cui studio porta a una risposta controintuitiva. Esso è spesso citato per mettere in evidenza la facilità con la quale nell'ambito della probabilità può nascere confusione anche in contesti che a prima vista sembrano nient'affatto complicati da analizzare.

Il nome con cui viene chiamato comunemente questo problema viene dall'inglese "Boy or Girl paradox".

QuesitoModifica

Il quesito in questione è, in una delle prime formulazioni (proposta da Martin Gardner sulle pagine del Scientific American): "Il signor Smith ha due bambini. Almeno uno dei due è un maschio. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?" Vengono fatte le ipotesi semplificative che i due sessi siano equiprobabili (in realtà nascono un po' più maschi[1]) e che i sessi dei due figli siano stocasticamente indipendenti (in realtà è un po' più probabile che i due figli siano dello stesso sesso).

La risposta intuitiva è che se, poniamo, è maschio il primo bambino, la probabilità che anche l'altro lo sia è 1/2=50%.

In realtà, come riconosciuto da Gardner stesso, la domanda è posta in modo ambiguo (è facile pensare che con "almeno uno" si intenda "sicuramente uno che ho chiaramente individuato - ed eventualmente anche l'altro"), e una possibile riformulazione - intuitivamente equivalente - che non dia adito ad ambiguità è la seguente:

"Il signor Smith ha due bambini. Non sono due femmine. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?"

Non è difficile, utilizzando semplici strumenti di probabilità classica, scoprire che la risposta è allora 1/3=33,3%. Di seguito le possibili combinazioni dei figli che rispettano le condizioni date:

Figlio 1 Figlio 2
Femmina Femmina
Femmina Maschio
Maschio Femmina
Maschio Maschio

Si osservi che questo cosiddetto paradosso non ha nulla a che vedere con il fatto che in natura il numero di figli maschi sia diverso dal numero di figlie femmine; si assume invece che la probabilità di un figlio maschio sia a priori uguale a quella di una figlia femmina: 1/2.

Una domanda simile con risposta corretta pari a 1/2Modifica

L'ambiguità è nell'espressione "almeno un bambino", che porta a intendere questo "paradosso" nella seguente formulazione, in apparenza equivalente:

sapendo che una famiglia ha esattamente due bambini, dei quali il primo è un maschio, quant'è la probabilità che l'altro bambino sia una femmina?

In questo caso la risposta intuitiva (1/2=50%) è corretta. Infatti in metà delle famiglie (casi 1 e 2) il primo figlio è maschio e di queste nella metà dei casi (caso 1) anche il secondo è maschio. Di seguito le possibili combinazioni dei figli che rispettano le diverse condizioni poste:

Figlio maggiore Figlio minore
Femmina Femmina
Femmina Maschio
Maschio Femmina
Maschio Maschio

Ma con le parole "almeno un bambino", non stiamo individuando uno dei due figli in particolare (cioè se è il primo o il secondo). Le parole "l'altro bambino" invece ci portano spontaneamente a immaginare che l'"almeno uno" indichi un bambino specifico (ad esempio che chi ci pone la domanda ne abbia chiaro in mente il volto e se è il primo o il secondo) e a forzare quindi il significato della prima parte della domanda.

Un'altra domanda simile con risposta corretta pari a 1/2Modifica

Un'altra domanda simile è la seguente:

"In un mondo nel quale tutte le famiglie hanno esattamente due bambini (p.es. nell'associazione "Famiglie con due figli"), incontrando un maschietto, quant'è la probabilità che abbia una sorella?

Anche in questo caso è stato identificato il figlio, per cui vanno escui i casi: Femmina Femmina e Femmina Maschio.

Studio scientificoModifica

Fox & Levav nel 2004 hanno sottoposto ad un test alcuni volontari, ponendo loro una delle seguenti due domande:

  • «Il signor Smith dice: "Ho due bambini ed almeno uno è un maschio." Considerando questa informazione, qual è la probabilità che l'altro bambino sia un maschio?»
  • «Il signor Smith dice: "Ho due bambini e non sono entrambi femmine." Considerando questa informazione, qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?»

I due studiosi hanno riportato che l'85% delle persone che hanno risposto alla prima domanda, hanno fornito come risposta 1/2 considerando solo 2 possibili combinazioni, ingannati dalle parole "l'altro bambino". Alla seconda domanda, solamente il 39% ha risposto 1/2. Gli studiosi hanno così dimostrato che pur essendo (a livello di calcolo delle probabilità) la stessa domanda con gli stessi casi da considerare, la diversa formulazione ha ridotto l'ambiguità e di conseguenza le risposte errate del 46%.

NoteModifica

Voci correlateModifica

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