Polinomi di Jacobi

successione di polinomi ortogonali a due parametri

In matematica i polinomi di Jacobi costituiscono una sequenza polinomiale a due parametri e più precisamente costituiscono una successione di polinomi ortogonali a due parametri. Il loro nome ricorda il matematico tedesco Carl Jacobi (1804-1851).

DefinizioniModifica

Essi possono definirsi in molti modi equivalenti.

Mediante una serie ipergeometrica che in effetti si riduce a un polinomio:

 

dove   denota il fattoriale crescente e dove  .

Mediante la variante della precedente:

 

Mediante una formula alla Rodriguez:

 

Mediante la espressione polinomiale esplicita

 

Come soluzioni polinomiali dell'equazione differenziale di Jacobi.

Per   si possono definire come i componenti della successione di polinomi ortogonali nell'intervallo   rispetto alla funzione peso  . La corrispondente relazione di ortogonalità è

 

Polinomi di Jacobi shiftatiModifica

Si tratta di varianti dei precedenti abbastanza modeste ma molto usate; sono definiti come

 

Naturalmente anche questi costituiscono una successione di polinomi ortogonali e la relazione di ortogonalità è:

 

Collegamenti con altri polinomi specialiModifica

Per   si riducono ai polinomi di Legendre.

Per   si riducono ai polinomi di Gegenbauer:

 

Per   si riducono ai polinomi di Chebyshev di primo genere:

 

Espressioni espliciteModifica

I primi polinomi della successione graduale sono:

 
 
 

BibliografiaModifica

Collegamenti esterniModifica

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