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In matematica, la radice -esima o radicale -esimo, con , di un numero reale , scritto come , è un numero reale tale che . Il numero reale è detto radicando, il numero è detto indice e il numero è detto radice -esima di .

Una radice con indice 2 è indicata con il nome di radice quadrata e una radice con indice 3 con il nome di radice cubica o radice terza[1], ma esistono e si possono creare radici con qualsiasi indice.

Indice

Le condizioni di esistenzaModifica

Le condizioni di esistenza sono quell'insieme dei valori delle variabili contenute nel radicale per i quali esso esiste nel campo dei numeri reali.

La funzione radice  -esima è una funzione definita da  , perciò   resta definita  

Per esempio, i seguenti radicali esprimono numeri reali:

 

Si può ottenere un risultato analogo alla radice ennesima attraverso l'elevamento a potenza con esponente frazionario:

 

Tuttavia la funzione potenza è definita da  , perciò essa permette di definire due sottocasi:

  • se  
  • se   è dispari

Ciò implica che equazioni del tipo  , con   pari e   non hanno soluzioni reali, esse infatti appartengono all'insieme dei numeri immaginari, sottoinsieme dell'insieme dei numeri complessi, indicato con  , che vengono espressi come somma di un numero reale e un numero immaginario.

Ad esempio, l'equazione   avrà per soluzioni   e  , dove   rappresenta l'unità immaginaria.

Quanto visto finora ci permette d'individuare che, ad esempio, la condizione di esistenza del radicale   è  , dato che il radicando deve essere sempre positivo.

Ecco altri esempi di condizioni di esistenza:

  •   ha come condizioni di esistenza  : infatti, si deve risolvere la disequazione  , la cui soluzione è proprio  .
  •  , invece, esiste  .
  •   ha come condizioni di esistenza  , poiché è necessario risolvere la disequazione fratta  .
  • Un ultimo esempio: per trovare le condizioni di esistenza del radicale   è necessario risolvere la disequazione  , che ha come soluzione  , ricordando che i fattori   ed   sono sempre positivi o nulli, in quanto quadrati.

Operazioni fondamentaliModifica

Esistono delle proprietà fondamentali delle radici che vengono elencate di seguito:

Prodotto di radicaliModifica

 , con  ,  ,  

DimostrazioneModifica

Si elevino all'ennesima potenza entrambi i membri dell'uguaglianza:

  (per la prima proprietà fondamentale dei radicali)
  (per la prima proprietà fondamentale dei radicali)

Poiché le  -esime potenze dei due membri sono uguali ( ), sono uguali anche le basi.

EsempiModifica

Applicando la proprietà:

 

Allo stesso modo, con  :

 

Quoziente di radicaliModifica

 , con  ,  ,  

DimostrazioneModifica

Si elevino all'ennesima potenza entrambi i membri dell'uguaglianza:

  (per la prima proprietà fondamentale dei radicali)
  (per la prima proprietà fondamentale dei radicali)

Poiché le  -esime potenze dei due membri sono uguali  , sono uguali anche le basi.

EsempiModifica

Applicando la proprietà:

 

Allo stesso modo, con  :

 

Potenze di radicaliModifica

 , con  ,  

Non è necessario dimostrare questa proprietà in quanto è una diretta conseguenza della seconda proprietà dei radicali con il radicando sempre positivo.

EsempiModifica

Applicando la proprietà:

 

Allo stesso modo, con  

 

Radice di un radicaleModifica

 , con  ,  

DimostrazioneModifica

Si elevino all' -esima potenza entrambi i membri dell'uguaglianza:

  (per la prima proprietà fondamentale dei radicali)
  (per la prima proprietà fondamentale dei radicali)

Poiché le  -esime potenze dei due membri sono uguali ( ), sono uguali anche le basi.

EsempiModifica

Applicando la proprietà:

 

Allo stesso modo, con  ,  

 

Portar fuoriModifica

 , con  ,  ,  

DimostrazioneModifica

Per il teorema del prodotto si ottiene:

 

Ma, per la seconda proprietà fondamentale dei radicale è  , perciò:

 

EsempiModifica

Applicando la proprietà:

 

Allo stesso modo, con  :

 

VariantiModifica

Il teorema presenta le seguenti varianti, facilmente verificabili:

 , con  ,  ,  
 , con  ,  

Portar dentroModifica

 , con  ,  ,  

DimostrazioneModifica

Elevando tutto alla  -esima potenza si ottiene:

 

Radicando ora il tutto sotto radice di indice   risulta:

 

Quindi:

 

EsempiModifica

Applicando la proprietà:

 

Allo stesso modo:

  per  
  per  

VariantiModifica

Il teorema presenta le seguenti varianti, facilmente verificabili:

 , con  ,  ,  
 , con  ,  

Potenze ad esponente razionaleModifica

Tenendo conto di quanto detto finora, si ha che per  

  •  
  •  

Il primo enunciato si ottiene direttamente dalla definizione di radicale, il secondo applicando il teorema delle potenze ad esponente negativo.

Radicali quadratici doppiModifica

 

dove  ,  e  .

Per ogni numero complesso  , ci sono   diversi numeri complessi   tali che  , quindi il simbolo   non può essere usato univocamente. Se  , parliamo di radici n-esime dell'unità.

Somme di radicaliModifica

È importante ricordare che, in generale, è sempre (per  ,  ):

 

tenendo presente che l'uguaglianza si ha se e solo se almeno uno tra   e   è  .

Quindi, affermare che   sarebbe un gravissimo errore.

DimostrazioneModifica

Partendo dalla disequazione:

 

Elevando al quadrato si ottiene:

 
 
 

Poiché è   e   per ipotesi, è anche  , quindi la tesi è vera.

GeneralizzazioneModifica

Il teorema è facilmente estendibile alle radici di indice  -esimo:

 , con  ,  ,  

Casi in cui la somma è possibileModifica

La somma di radicali è possibile solo se sono presenti radicali simili, cioè nel caso in cui:

 , con  

Ad esempio:

 
 

Nel secondo esempio si tenga presente che vale  .

Proprietà invariantiva dei radicaliModifica

La proprietà invariantiva dei radicali afferma che:

"Moltiplicando o dividendo sia l'indice di un radicale che l'esponente del suo radicando per un numero naturale diverso da 0, si ottiene un radicale equivalente a quello dato."

In simboli:

 , con  ,  

DimostrazioneModifica

Si elevi alla   potenza ciascuno dei due membri:

  (per la prima proprietà fondamentale dei radicali)
  (per la prima proprietà fondamentale dei radicali)

Si ottiene  , e, poiché le  -esime potenze dei due membri sono uguali, sono uguali anche le basi.

EsempiModifica

Utilizzando la proprietà invariantiva è possibile semplificare i radicali, dividendo sia indice che esponente del radicando per uno stesso numero:

 

Allo stesso modo:

 

Si noti che nell'espressione è stato inserito il valore assoluto: questo perché, mentre il primo radicale   esiste sempre, dato che ha il radicando elevato ad un indice pari, successivamente viene semplificato ed il suo radicando non è più elevato ad un esponente pari. Quindi è necessario inserire il valore assoluto, per fare in modo che l'uguaglianza si mantenga valida.

Casi particolariModifica

La radice  -esima di   vale sempre  , escludendo il caso in cui è  , poiché la radice di indice   ha significato solo se il radicando è uguale ad  , ossia nel caso:

 , poiché l'operazione inversa,  , con  , dà sempre come risultato il valore  , quindi qualsiasi valore, anche complesso, di   è accettabile.

Inoltre, è sempre:

 
 

RazionalizzazioneModifica

Nelle elaborazioni di espressioni e formule algebriche, è spesso utile manipolare i radicali usando le relazioni scritte sopra, senza tentare di calcolare il valore di ogni singolo elemento. Ad esempio, se   e   sono due numeri positivi distinti:

 
 

L'ultima relazione può servire per razionalizzare il denominatore di un'espressione o di un'equazione.

Radicali letteraliModifica

Può capitare, spesso in analisi, di trovare radicali letterali, ossia radici quadrate con radicando letterale. In questo caso, dapprima bisogna trovare la condizione di esistenza (chiamata anche C.A. Condizione di accettabilità, o C.R.R. Condizione di Realtà del Radicando), nel caso si lavori solo tra i numeri reali, per poi considerare sempre quando le lettere indicano numeri positivi o numeri negativi.

Un esempio di radicale letterale:

 

Le condizioni di esistenza si ricavano nel seguente modo:

  • Per l'indice, è semplicemente  , poiché è l'unico numero naturale per cui perde di significato;
  • Se l'indice è pari, per il radicando è necessario risolvere la disequazione frazionaria  , la cui soluzione è:  .
  • Se l'indice è dispari, per il radicando basta imporre le condizioni di esistenza sul denominatore, ossia  .

Pertanto il campo di esistenza del radicale è:  .

NoteModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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