In matematica, in particolare nell'algebra astratta, un'algebra graduata è un'algebra su campo (o anello commutativo), con un ulteriore pezzo della struttura, conosciuta come una gradazione (o classificazione).

Anello graduato

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Un anello graduato   è un anello tale che esista una famiglia   di sottogruppi abeliani additivi di   che decompongano   in una somma diretta:

 

in modo tale che l'anello moltiplicativo soddisfi la seguente proprietà:

 

ossia

 

per tutti gli indici  .

Gli elementi   sono noti come elementi omogenei di grado  . Dalla definizione segue immediatamente che ogni elemento   ammette una decomposizione unica come somma:

 

dove   per tutti gli  ; gli elementi   sono talvolta chiamati parti omogenee di  .

Un sottoinsieme   è omogeneo se per ogni elemento  , le parti omogenee di   sono anche contenute in  

Se   è un ideale omogeneo di   allora   è un anello graduato e possiede la seguente decomposizione:

 

Algebra graduata

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Un'algebra   su un anello   è un'algebra graduata se è graduata come anello. Nel caso in cui l'anello   sia anche un anello graduato, allora si richiede che:

  1.  
  2.  

Si noti che la definizione di anello graduato su un anello non graduato è il caso particolare della definizione di quest'ultimo dove   è graduato in modo banale (ogni elemento di   è di grado zero).

Bibliografia

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  • Bourbaki, N. (1974) Algebra I (Chapters 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5, Chapter 3, Section 3.
  • (EN) D.V. Volkov, V.P. Akulov, Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz. 16 (1972) 621; Phys. Lett. B46 (1973) 109.
  • (EN) V.P. Akulov, D.V. Volkov, Teor.Mat.Fiz. 18 (1974) 39.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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