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In matematica e fisica, una forma sesquilineare sopra uno spazio vettoriale complesso è una funzione che associa ad ogni coppia di vettori dello spazio un numero complesso e che è antilineare in un argomento e lineare nell'altro. In particolare, la convenzione utilizzata solitamente in matematica è che sia lineare nel primo argomento e antilineare nel secondo, mentre in fisica accade il contrario (lineare nel secondo argomento, antilineare nel primo), in accordo con la notazione bra-ket introdotta da Paul Dirac nel formalismo della meccanica quantistica.

Poiché un'applicazione antilineare è talora detta semilineare, il nome sesquilineare trae origine dal prefisso latino sesqui- che significa "uno e mezzo", in sintonia con il termine forma bilineare, funzione con due argomenti che è lineare in entrambi. Inoltre, vari autori che studiano implicitamente soltanto spazi vettoriali complessi usano per brevità il termine "bilineare" al posto di "sesquilineare".

Una forma sesquilineare simmetrica è detta forma hermitiana, ed è analoga a una forma bilineare simmetrica nel caso reale.[1] Una forma hermitiana definita positiva è inoltre detta prodotto interno o prodotto hermitiano. Se si considera il campo reale tale prodotto è il prodotto scalare.[2]

Indice

DefinizioneModifica

Sia   uno spazio vettoriale complesso. Una forma sesquilineare sul campo   è una mappa:

 

che associa ad ogni coppia di elementi   e   lo scalare  .

Si tratta di un'applicazione lineare su una componente ed antilineare sull'altra, cioè:

  •  
  •  
  •  

con   e  .

In altre parole, per ogni   in   fissato, le applicazioni

 

sono rispettivamente lineare e antilineare.

Forma hermitianaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Operatore autoaggiunto.

Data una qualsiasi forma sesquilineare   su  , è sempre possibile associare una seconda forma sesquilineare   che si dice ottenuta per trasposizione coniugata:

 

e si ha:

 

Una forma hermitiana è una forma sesquilineare   tale che:[3]

 

La forma hermitiana standard sullo spazio   è definita nel modo seguente:

 

Tali forme sono l'equivalente complesso delle forme bilineari simmetrica e antisimmetrica. Analogamente a quanto accade nel caso reale, ogni forma sesquilineare può essere scritta come somma di una hermitiana e di una antihermitiana:

 

Prodotto internoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio prehilbertiano.

Il prodotto interno, anche detto prodotto hermitiano, è una forma hermitiana definita positiva, cioè tale che:[2]

 

se  . Un prodotto hermitiano è sovente indicato con  , ed uno spazio vettoriale complesso munito di prodotto hermitiano si dice spazio prehilbertiano.

Il prodotto interno è in generale definito sul campo complesso, e nel caso si consideri il campo reale tale prodotto è detto prodotto scalare.

Forma antihermitianaModifica

Una forma antihermitiana è una forma sesquilineare   tale che:

 

ovvero:

 

Ogni forma antihermitiana si può esprimere come:

 

dove i è l'unità immaginaria e   è una forma hermitiana.

Analogamente al caso precedente, in dimensione finita una forma antihermitiana è rappresentabile tramite una matrice antihermitiana. La forma quadratica associata ad una forma antihermitiana ha solo valori immaginari.

Matrice associataModifica

Supponiamo che   abbia dimensione finita. Sia

 

una base di  . Ogni forma hermitiana   è rappresentata da una matrice hermitiana   definita come

 

e vale la relazione

 

dove   è il vettore in   delle coordinate di   rispetto a  . D'altra parte, ogni matrice hermitiana definisce un prodotto hermitiano. Come per le applicazioni lineari, questa corrispondenza fra forme e matrici dipende fortemente dalla scelta della base  .

Forma quadraticaModifica

Ad una forma hermitiana è possibile associare una forma quadratica definita come:

 

Tale forma ha tutti valori reali: una forma sesquilineare è hermitiana se e solo se la forma quadratica a lei associata ha solo valori reali.

NoteModifica

  1. ^ S. Lang, Pag. 197
  2. ^ a b Hoffman, Kunze, Pag. 271
  3. ^ S. Lang, Pag. 158

BibliografiaModifica

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
  • K.W. Gruenberg & A.J. Weir (1977) Linear Geometry, §5.8 Sesquilinear Forms, pp 120–4, Springer, ISBN 0-387-90227-9.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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