Raccoglimento a fattor comune

Il raccoglimento a fattor comune è un'operazione matematica che consente di mettere in evidenza una parte letterale e/o una parte numerica che moltiplica tutto ciò che la segue, e si basa sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. Si divide in raccoglimento totale e raccoglimento parziale.

Il raccoglimento totale è la più semplice operazione di scomposizione di un polinomio in fattori, che consiste nell'individuare, se esiste, il monomio massimo comun divisore; per esempio: $AB+AC=A(B+C).$

Il raccoglimento parziale si ha quando non tutti i termini di un polinomio hanno dei fattori comuni, ma solo alcuni di essi; si procede quindi prima con un raccoglimento parziale raggruppando le parti in comune. La procedura è finalizzata nell'evidenziare, dopo questo primo passaggio, una parte che in un secondo tempo può essere raccolta totalmente. Per esempio, si consideri il seguente polinomio: $ax+bx+ay+by.$

I primi due termini hanno in comune un termine $x$, il terzo e il quarto un termine $y$; procedendo col raccoglimento, si ottiene:

$x(a+b)+y(a+b)=(x+y)(a+b).$

Nell'ultimo passaggio, dato che sia la $x$ che la $y$ sono moltiplicate per il fattore $a+b$, si può raccogliere quest'ultimo e si ottiene il prodotto $(x+y)(a+b)$.

Utilità

L'operazione di raccoglimento a fattor comune è particolarmente utile perché consente di semplificare anche di molto dei polinomi che, se non ridotti a una forma più accessibile, risulterebbero molto difficili da trattare.

• Si consideri come esempio il binomio:

$2x^{3}+10x^{2}.$

Qualora si volesse trovarne gli zeri (o discuterne il segno), è possibile raccogliere a fattor comune il massimo comun divisore tra i monomi che compongono il binomio; a esempio:

$2x^{3}+10x^{2}=0\,\,\to \,\,2x^{2}(x+5)=0.$

Per la legge di annullamento del prodotto, l'equazione è soddisfatta per $x=0\,\,\lor \,\,x=-5$.

• Analogamente è possibile fare uso del raccoglimento a fattor comune per semplificare le frazioni:

riprendendo in parte l'esempio precedente e considerando la frazione:

${\frac {2x^{3}+10x^{2}}{x^{3}+5x^{2}+x+5}},$

si può procedere col raccoglimento totale a numeratore (visto prima) e con un raccoglimento prima parziale e poi totale a denominatore:

${\frac {2x^{2}(x+5)}{x^{2}(x+5)+x+5}}={\frac {2x^{2}(x+5)}{(x+5)(x^{2}+1)}}.$

È ora possibile semplificare sia a numeratore che a denominatore il fattore $(x+5)$, a patto però di calcolare prima il campo di esistenza, ponendo $x+5\neq 0\,\,\implies \,\,x\neq -5$:

${\frac {2x^{2}(x+5)}{(x+5)(x^{2}+1)}}={\frac {2x^{2}}{x^{2}+1}}.$

Bibliografia

• Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.
• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.

Voci correlate

• Regola di Ruffini
• Polinomi
• Equazione