Regola di Ruffini

Teorema per la divisione di un qualunque polinomio per un binomio di primo grado della forma x-a
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In algebra lineare, la regola di Ruffini permette di dividere velocemente un qualunque polinomio per un binomio di primo grado della forma . Tale regola è stata descritta da Paolo Ruffini nel 1809 ed è un caso speciale della divisione polinomiale quando il divisore è un fattore lineare. La regola di Ruffini è anche nota come divisione sintetica.

L'algoritmoModifica

La regola di Ruffini stabilisce un metodo per dividere il polinomio

 

per il binomio

 

per ottenere il polinomio quoziente

 

e un resto   che è un termine costante (eventualmente nullo), visto che deve essere di grado minore rispetto al polinomio divisore.

L'algoritmo non è altro che la divisione polinomiale di   per   scritto in un'altra forma più economica.

Per dividere   per  , infatti:

  1. Si prendono i coefficienti di   e si scrivono in ordine. Si scrive poi   in basso a sinistra, proprio sopra la riga:
     
  2. Si copia il coefficiente di sinistra   in basso, subito sotto la riga:
     
  3. Si moltiplica il numero più a destra di quelli sotto la riga, per  , e il risultato lo si scrive sopra la riga, spostato di un posto a destra:
     
  4. Si somma questo valore con quello sopra di lui nella stessa colonna:
     
  5. Si ripetono i passi 3 e 4 fino al termine dei coefficienti
     

I valori   sono i coefficienti del polinomio risultante  , il cui grado sarà inferiore di uno a quello di  , invece   è il resto della divisione.

Un esempio numerico viene fornito più sotto.

Usi della regolaModifica

La regola di Ruffini ha varie applicazioni pratiche, molte di esse si basano sulla divisione semplice (come mostrato sotto) o sulle estensioni usuali che seguono.

Divisione polinomiale per xrModifica

Ecco un esempio di divisione polinomiale, con tutti i passaggi evidenziati.

Siano

 
 

Vogliamo dividere   per   usando la regola di Ruffini. Poiché   non è della forma  , ma piuttosto  , è sufficiente riscrivere   come

 

Applichiamo ora l'algoritmo.

  1. Scriviamo i coefficienti di   e  :
     
  2. Copiamo il primo coefficiente sotto:
     
  3. Moltiplichiamo il numero più a destra sotto la riga, per  , e scriviamolo al posto successivo sopra la riga:
     
  4. Sommiamo i valori della seconda colonna dopo la riga verticale:
     
  5. Ripetiamo i passi 3 e 4 fino alla fine:
     

Abbiamo ottenuto, quindi, che:

 

dove

 
 

Divisione polinomiale per axkModifica

Applicando una facile trasformazione, la regola di Ruffini si può generalizzare anche per le divisioni di un polinomio per un binomio qualsiasi di primo grado  . Infatti, considerando la relazione fondamentale

 

dividendo tutto per   (sicuramente diverso da  ) otteniamo

 

Detti   e   otteniamo

 

Dunque il quoziente richiesto   è anche il quoziente della divisione di   per  , che si può ottenere con la regola appena esposta. Per trovare il resto richiesto   basterà moltiplicare il resto ottenuto   per  .

Trovare le radici di un polinomioModifica

Il teorema delle radici razionali afferma che se un polinomio

 

ha coefficienti interi, le sue radici razionali sono sempre della forma  , dove   e   sono interi coprimi,   è un divisore (non necessariamente positivo) di   e   un divisore di  . Se il nostro polinomio è quindi

 

le radici razionali possibili appartengono all'insieme dei divisori interi di   che sarà:

 

Questo è un esempio semplice, perché il polinomio è monico (cioè,  ); per i polinomi non monici, l'insieme delle possibili radici comprenderà alcune frazioni, ma solo in numero finito, dato che   e   hanno ciascuno un numero finito di divisori interi. In ogni caso per i polinomi monici ogni radice razionale è un intero, e quindi ogni radice intera dev'essere un divisore del termine costante. Si può dimostrare che questo resta vero anche per i polinomi non monici: insomma, per trovare le radici intere di un polinomio a coefficienti interi, basta verificare i divisori del termine costante. Infatti, ogni polinomio non monico può essere ricondotto al caso monico, semplicemente dividendo i coefficienti per  .

Provando pertanto a porre   pari a ciascuna delle radici possibili, si può provare a dividere il polinomio per  . Se il polinomio quoziente risultante ha resto 0, abbiamo trovato una radice. Questo metodo però non permette di trovare radici irrazionali o complesse.

Resta evidente che se   per  , vale a dire che tutti i termini del polinomio   hanno coefficiente positivo, allora le uniche radici possibili per cui provare a dividere il polinomio sono quelle di segno negativo, inteso che nel polinomio vi sìa almeno un termine con potenza di   ed   dispari.

Se, per esempio volessimo trovare le radici del precedente polinomio  , dobbiamo dividere   per il binomio   dove   è una delle radici possibili. Se il resto è uguale a  , il numero utilizzato è una radice:

 
 

  e   sono radici, mentre   e   non lo sono.

Possiamo quindi scrivere il polinomio scomposto:

 

Eguagliando   per trovare le radici del polinomio, otteniamo che queste sono   (con molteplicità  ) e  

Fattorizzazione polinomialeModifica

Dopo avere usato il metodo " " mostrato sopra (o un qualunque altro modo) per trovare tutte le radici razionali reali di un certo polinomio, è semplice sfruttarle per fattorizzare parzialmente il polinomio stesso: a ogni fattore   che divide un polinomio dato corrisponde una radice  , e viceversa.

Quindi, se abbiamo il polinomio:

 

e abbiamo trovato come sue radici:

 

consideriamo il prodotto:

 

Per il teorema fondamentale dell'algebra,   sarebbe uguale a   se tutte le radici di   fossero razionali. Ma è assai probabile che   non sia uguale a  , dato che   potrebbe avere anche radici irrazionali o complesse. Consideriamo allora il polinomio quoziente

 .

Se  , allora  . Altrimenti,   sarà un polinomio, per la precisione un altro fattore di   che non ha radici razionali in  . Dunque

 

è una fattorizzazione completa di   su   se   altrimenti sarà una fattorizzazione completa su  , ma ci saranno altri fattori su   o su  .

Primo esempio: nessun restoModifica

Sia

 

Con i metodi descritti sopra, troviamo che le radici razionali di   sono:

 

Pertanto, il prodotto di (  − ciascuna radice) è

 

 

 

E così il polinomio fattorizzato è  :

 

Secondo esempio: con restoModifica

Sia

 

Con i metodi descritti sopra, troviamo che le radici razionali di   sono:

 

Pertanto, il prodotto di (  − ciascuna radice) è

 

 

 

Dato che  , il polinomio fattorizzato sui razionali è  :

 

Voci correlateModifica

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