Regola di Ruffini

In algebra lineare, la regola di Ruffini permette di dividere velocemente un qualunque polinomio per un binomio di primo grado della forma $x-a$. Tale regola è stata descritta da Paolo Ruffini nel 1809 ed è un caso speciale della divisione polinomiale quando il divisore è un fattore lineare. La regola di Ruffini è anche nota come divisione sintetica.

L'algoritmo

La regola di Ruffini stabilisce un metodo per dividere il polinomio

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},$

per il binomio

$A(x)=x-r,$

per ottenere il polinomio quoziente

$Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0},$

e un resto $R$ che è un termine costante (eventualmente nullo), visto che deve essere di grado minore rispetto al polinomio divisore.

L'algoritmo non è altro che la divisione polinomiale di $P(x)$ per $A(x)$ scritto in un'altra forma più economica.

Per dividere $P(x)$ per $A(x)$, infatti.:

1. Si prendono i coefficienti di $P(x)$ e si scrivono in ordine. Si scrive poi $r$ in basso a sinistra, proprio sopra la riga:

   ${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &&&&&\\\end{array}}$

2. Si copia il coefficiente di sinistra $a_{n}$ in basso, subito sotto la riga:

   ${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}$

3. Si moltiplica il numero più a destra di quelli sotto la riga, per $r$, e il risultato lo si scrive sopra la riga, spostato di un posto a destra:

   ${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}$

4. Si somma questo valore con quello sopra di lui nella stessa colonna:

   ${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\end{array}}$

Si ripetono i passi 3 e 4 fino al termine dei coefficienti

${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&\dots &b_{1}\cdot r&b_{0}\cdot r\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&\dots &b_{1}\cdot r+a_{1}&a_{0}+b_{0}\cdot r\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\dots &=b_{0}&=R\\\end{array}}$

I valori $b_{n-1},b_{n-2},\dots ,b_{0}$ sono i coefficienti del polinomio risultante $Q(x)$, il cui grado sarà inferiore di uno a quello di $P(x)$, invece $R$ è il resto della divisione.

Un esempio numerico viene fornito più sotto.

Usi della regola

La regola di Ruffini ha varie applicazioni pratiche, molte di esse si basano sulla divisione semplice (come mostrato sotto) o sulle estensioni usuali che seguono.

Divisione polinomiale per x − r

Ecco un esempio di divisione polinomiale, con tutti i passaggi evidenziati.

Siano

$P(x)=2x^{3}-5x^{2}-x+6,$

$A(x)=x+1.$

Vogliamo dividere $P(x)$ per $A(x)$ usando la regola di Ruffini. Poiché $A(x)$ non è della forma $x-r$, ma piuttosto $x+r$, è sufficiente riscrivere $A(x)$ come

$A(x)=x+1=x-(-1).$

Applichiamo ora l'algoritmo.

1. Scriviamo i coefficienti di $P(x)$ e $r$:

   ${\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&&&\\\hline &&&&\\\end{array}}$

2. Copiamo il primo coefficiente sotto:

   ${\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&&&\\\hline &+2&&&\\\end{array}}$

3. Moltiplichiamo il numero più a destra sotto la riga, per $r$, e scriviamolo al posto successivo sopra la riga:

   ${\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&&\\\hline &+2&&&\\\end{array}}$

4. Sommiamo i valori della seconda colonna dopo la riga verticale:

   ${\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&&\\\hline &+2&-7&&\\\end{array}}$

5. Ripetiamo i passi 3 e 4 fino alla fine:

   ${\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&7&-6\\\hline &+2&-7&+6&0\\\end{array}}$

Abbiamo ottenuto, quindi, che:

$P(x)=A(x)\cdot Q(x)+R,$

dove

$Q(x)=2x^{2}-7x+6,$

$R=0.$

Divisione polinomiale per ax − k

Applicando una facile trasformazione, la regola di Ruffini si può generalizzare anche per le divisioni di un polinomio per un binomio qualsiasi di primo grado $A(x)=ax-k$. Infatti, considerando la relazione fondamentale

$P(x)=(ax-k)\cdot Q(x)+R(x),$

dividendo tutto per $a$ (sicuramente diverso da $0$) otteniamo

${\frac {P(x)}{a}}={\frac {(ax-k)\cdot Q(x)}{a}}+{\frac {R(x)}{a}}.$

Detti ${\frac {P(x)}{a}}=P'(x)$ e ${\frac {R(x)}{a}}=R'(x)$ otteniamo:

$P'(x)=(x-{\frac {k}{a}})\cdot Q(x)+R'(x).$

Dunque il quoziente richiesto $Q(x)$ è anche il quoziente della divisione di $P'(x)$ per $x-k/a$, che si può ottenere con la regola appena esposta. Per trovare il resto richiesto $R(x)$ basterà moltiplicare il resto ottenuto $R'(x)$ per $a$.

Trovare le radici di un polinomio

Il teorema delle radici razionali afferma che se un polinomio

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}$

ha coefficienti interi, le sue radici razionali sono sempre della forma $p/q$, dove $p$ e $q$ sono interi coprimi, $p$ è un divisore (non necessariamente positivo) di $a_{0}$ e $q$ un divisore di $a_{n}$. Se il nostro polinomio è quindi

$P(x)=x^{3}-4x^{2}+5x-2,$

le radici razionali possibili appartengono all'insieme dei divisori interi di $-2/1$ che sarà:

$\left\{+1,-1,+2,-2\right\}.$

Questo è un esempio semplice, perché il polinomio è monico (cioè, $a_{n}=1$); per i polinomi non monici, l'insieme delle possibili radici comprenderà alcune frazioni, ma solo in numero finito, dato che $a_{n}$ e $a_{0}$ hanno ciascuno un numero finito di divisori interi. In ogni caso per i polinomi monici ogni radice razionale è un intero, e quindi ogni radice intera dev'essere un divisore del termine costante. Si può dimostrare che questo resta vero anche per i polinomi non monici: insomma, per trovare le radici intere di un polinomio a coefficienti interi, basta verificare i divisori del termine costante. Infatti, ogni polinomio non monico può essere ricondotto al caso monico, semplicemente dividendo i coefficienti per $a_{n}$.

Provando pertanto a porre $r$ pari a ciascuna delle radici possibili, si può provare a dividere il polinomio per $x-r$. Se il polinomio quoziente risultante ha resto 0, abbiamo trovato una radice. Questo metodo però non permette di trovare radici irrazionali o complesse.

Resta evidente che se $a_{i}>0$ per $i=0,1,2,\ldots ,n$, vale a dire che tutti i termini del polinomio $P(x)$ hanno coefficiente positivo, allora le uniche radici possibili per cui provare a dividere il polinomio sono quelle di segno negativo, inteso che nel polinomio vi sia almeno un termine con potenza di $x$ ed $n$ dispari.

Se, per esempio volessimo trovare le radici del precedente polinomio $P(x)$, dobbiamo dividere $P(x)$ per il binomio $x-a$ dove $a$ è una delle radici possibili. Se il resto è uguale a $0$, il numero utilizzato è una radice:

${\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\+1&&+1&-3&+2\\\hline &+1&-3&+2&0\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\-1&&-1&+5&-10\\\hline &+1&-5&+10&-12\\\end{array}}$

${\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\+2&&+2&-4&+2\\\hline &+1&-2&+1&0\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\-2&&-2&+12&-34\\\hline &+1&-6&+17&-36\\\end{array}}$

$x_{1}=+1$ e $x_{3}=+2$ sono radici, mentre $x_{2}=-1$ e $x_{4}=-2$ non lo sono.

Possiamo quindi scrivere il polinomio scomposto:

$P(x)=x^{3}-4x^{2}+5x-2=(x-1)(x^{2}-3x+2)=(x-2)(x^{2}-2x+1)=(x-1)(x-1)(x-2).$

Uguagliando $P(x)=0$ per trovare le radici del polinomio, otteniamo che queste sono $x=1$ (con molteplicità $2$) e $x=2.$

Fattorizzazione polinomiale

Dopo avere usato il metodo "$p/q$" mostrato sopra (o un qualunque altro modo) per trovare tutte le radici su $\mathbb {Q}$ di un certo polinomio, è semplice sfruttarle per fattorizzare parzialmente il polinomio stesso: a ogni fattore $x-r$ che divide un polinomio dato corrisponde una radice $r$, e viceversa.

Quindi, se abbiamo il polinomio:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},$

e abbiamo trovato come sue radici:

$R=\left\{\alpha \in \mathbb {Q} :P(\alpha )=0\right\},$

consideriamo il prodotto:

$Q(x)=a_{n}{\prod _{r\in R}(x-r)}.$

Per il teorema fondamentale dell'algebra, $Q(x)$ sarebbe uguale a $P(x)$ se tutte le radici di $P(x)$ fossero razionali. Ma è assai probabile che $Q(x)$ non sia uguale a $P(x)$, dato che $P(x)$ potrebbe avere anche radici irrazionali o complesse. Consideriamo allora il polinomio quoziente

$S(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}.$

Se $S(x)=1$, allora $Q(x)=P(x)$. Altrimenti, $S(x)$ sarà un polinomio, per la precisione un altro fattore di $P(x)$ che non ha radici razionali in $\mathbb {R}$. Dunque

$P(x)=Q(x)\cdot S(x),$

è una fattorizzazione completa di $P(x)$ su $\mathbb {Q}$ se $S(x)=1,$ altrimenti sarà una fattorizzazione completa su $\mathbb {Q}$, ma ci saranno altri fattori su $\mathbb {R}$ o su $\mathbb {C}$.

Primo esempio: nessun resto

Sia

$P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2.$

Con i metodi descritti sopra, troviamo che le radici razionali di $P(x)$ sono:

$R=\left\{+1,-1,-2\right\}.$

Pertanto, il prodotto di ($x$ − ciascuna radice) è

$Q(x)=1(x-1)(x+1)(x+2),$

$P(x)/Q(x)$ dà

$S(x)=1.$

E così il polinomio fattorizzato è $P(x)=Q(x)\cdot 1=Q(x)$:

$P(x)=(x-1)(x+1)(x+2).$

Secondo esempio: con resto

Sia

$P(x)=2x^{4}-3x^{3}+x^{2}-2x-8.$

Con i metodi descritti sopra, troviamo che le radici razionali di $P(x)$ sono:

$R=\left\{-1,+2\right\}.$

Pertanto, il prodotto di ($x$ − ciascuna radice) è

$Q(x)=(x+1)(x-2),$

$P(x)/Q(x)$ dà

$S(x)=2x^{2}-x+4.$

Dato che $S(x){\neq }1$, il polinomio fattorizzato sui razionali è $P(x)=Q(x)\cdot S(x)$:

$P(x)=(x+1)(x-2)(2x^{2}-x+4).$

Bibliografia

• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.
• Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.

Voci correlate

• Teorema di Ruffini
• Radice (matematica)
• Divisione dei polinomi
• Criterio di Cartesio
• Criterio di Routh-Hurwitz
• Criterio di Jury
• Regola di Horner

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