Regola del rettangolo

La regola del rettangolo o regola del punto medio, è il più semplice procedimento di integrazione numerica per approssimare un integrale definito nella forma :.

Esempio di approssimazione tramite rettangoli, con un numero crescente di sottointervalli

Tale formula approssima l'integrale (e quindi l'area sottesa dalla funzione) come un rettangolo di base e di altezza , dove a e b sono gli estremi di integrazione e c è il punto medio dell'intervallo, ottenendo un'espressione finale per l'integrale pari a:

Formula compositaModifica

 
Illustrazione del metodo del punto medio composito

Per calcolare con più accuratezza l'integrale, si divide l'intervallo di integrazione   in   sottointervalli di ampiezza uniforme pari a  

La formula del punto medio diventerà dunque  , dove   rappresenta il punto medio del k-esimo sottointervallo.

Analisi dell'erroreModifica

L'errore sviluppato con il metodo del rettangolo, assumerà la seguente espressione:  , dove   è un opportuno punto compreso nell'intervallo  .

Nel caso si usi il metodo composito l'errore sarà  . Dalla formula dell'errore si deduce che il metodo integra esattamente polinomi di primo grado, e che l'errore diminuisce quadraticamente rispetto all'ampiezza dei sottointervalli  .

Implementazione su calcolatoreModifica

In MATLAB la formula del rettangolo composita può essere implementata come segue:

function I = Ret_c(a,b,M,f)

%Dati a e b, estremi di integrazione,M numero di sottintervalli in cui dividere l'intervallo d'integrazione
%f funzione integranda, definita come inline o function handle, restituisce il valore dell'integrale approssimato

h=(b-a)/M;

x=a+h/2:h:b-h/2; 

I=h*sum(f(x));

BibliografiaModifica

  • Alfio Quarteroni, Fausto Saleri, Calcolo Scientifico, Milano, Springer, 2008.

Voci correlateModifica

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