Parallelismo in geometria iperbolica

La nozione di parallelismo in geometria iperbolica differisce molto da quella presente nella geometria euclidea. Essenzialmente, esistono due tipi di parallelismo in geometria iperbolica: due rette (o oggetti più generali) in uno spazio iperbolico possono essere

• asintoticamente paralleli se sono paralleli ma "si incontrano all'infinito".
• ultraparalleli se sono paralleli e divergono all'infinito.

L'aspetto nuovo della geometria iperbolica, non presente nella euclidea, è proprio la possibilità di avere rette ultraparallele. Un'altra differenza sta nel fatto che il parallelismo in geometria iperbolica non è una relazione di equivalenza, perché non vale la proprietà transitiva.

Rette nel piano iperbolico

Due rette secanti

Due rette nel piano iperbolico possono essere essenzialmente di tre tipi.

Rette secanti

Due rette sono secanti se si intersecano in un punto. Due rette non secanti sono parallele. Esistono però due nozioni ben diverse di parallelismo.

Rette asintoticamente parallele

Due rette asintoticamente parallele

Due rette parallele sono asintoticamente parallele se vale uno dei seguenti fatti equivalenti:

• le due rette hanno un punto all'infinito in comune;
• esistono coppie di punti sulle due rette arbitrariamente vicini (cioè per ogni $\varepsilon >0$ esistono due punti $x$ e $y$ appartenenti alle due rette con distanza minore di $\varepsilon$);
• non esiste nessuna retta perpendicolare a entrambe;
• esiste un orociclo perpendicolare a entrambe.

Rette ultraparallele

Due rette ultraparallele

Due rette parallele sono ultraparallele se vale uno dei seguenti fatti equivalenti:

• le due rette non hanno punti all'infinito in comune;
• la distanza fra punti è limitata inferiormente (cioè esiste $M>0$ tale che la distanza fra due punti $x$ e $y$ appartenenti alle due rette è sempre maggiore di $M$);
• esiste una retta perpendicolare a entrambe;
• non esiste nessun orociclo perpendicolare a entrambe.

La retta perpendicolare ad entrambe è in realtà unica.

Angolo di parallelismo

Le rette parallele a una data $l$ passanti per $P$ formano un angolo $\theta$, detto angolo di parallelismo. Al variare dell'angolo si ottengono rette differenti.

Il quinto postulato iperbolico asserisce che, data una retta $l$ ed un punto $P$ disgiunto da $r$, esistono almeno due rette parallele a $r$ passanti per $P$. Dal postulato risulta però che tali rette sono infinite: questo segue dai fatti seguenti.

1. Sia $B$ il punto di $l$ più vicino a $P$. Il segmento $PB$ è perpendicolare a $l$ (si veda la figura). Ogni retta $s$ passante per $P$ è adesso identificata dall'angolo $\theta$ che forma con il segmento $PB$. L'angolo è detto angolo di parallelismo di $l$ e $s$.
2. Se due rette $s_{1}$ e $s_{2}$ sono parallele a $l$, queste formano angoli diversi $\theta _{1}$ e $\theta _{2}$: ogni altra retta con un angolo compreso fra $\theta _{1}$ e $\theta _{2}$ risulta essere parallela a $l$.

Le rette parallele a $l$ passanti per $P$ sono tutte e sole le rette con angolo di parallelismo appartenente ad un intervallo chiuso $[\theta ,\pi -\theta ]$. Le rette con angolo di parallelismo $\theta$ e $\pi -\theta$ sono asintoticamente parallele a $l$: in una direzione queste si avvicinano sempre più a $r$, senza mai intersecarla. Tutte le rette con angolo di parallelismo compreso fra $\theta$ e $\pi -\theta$ sono invece ultraparallele rispetto a $l$.

Proprietà

Il parallelismo non è una relazione d'equivalenza

Il parallelismo in geometria iperbolica non è (a differenza di quanto accade nella geometria euclidea) una relazione d'equivalenza. In particolare, non è vero che se $r$ è parallelo a $s$ e $s$ è parallelo a $t$ allora $r$ è parallelo a $t$. Per mostrare ciò basta prendere $r$ e $t$ due rette distinte passanti per un punto $P$ non contenuto in $s$.

Voci correlate

• Parallelismo (geometria)
• Geometria iperbolica
• Spazio iperbolico