Riferimento proiettivo

In matematica, e più precisamente in geometria proiettiva, un riferimento proiettivo è una struttura, simile a quella di base per gli spazi vettoriali, che permette di assegnare ad ogni punto di uno spazio proiettivo delle coordinate omogenee.

DefinizioneModifica

Sia   uno spazio proiettivo di dimensione   (cioè   ha dimensione  ). Un riferimento proiettivo è una collezione di   punti in  

 

tali che nessun sottoinsieme di   di questi punti è contenuto in un iperpiano.

Che sia con ciò ben definito, è garantito dal cosiddetto teorema fondamentale della geometria proiettiva.

ProprietàModifica

Dal riferimento alla baseModifica

Un riferimento proiettivo identifica una base dello spazio vettoriale   in modo unico, a meno di un fattore moltiplicativo   (non nullo applicato a tutti i vettori della base). Tramite la base, è quindi possibile scrivere ogni vettore di   in coordinate, e quindi ogni vettore di   in coordinate omogenee.

Più precisamente, indicando con   la proiezione

 

vale il fatto seguente:

Esiste una base   di   tale che

 

Ogni altra base con questa proprietà è del tipo  , per qualche   in  .

Per il loro ruolo, i punti   sono detti punti fondamentali e   è il punto unità.

I punti fondamentali non sono sufficienti a determinare una base a meno di un solo fattore   globale: per questo scopo è necessario considerare anche il punto unità.

Dalla base alle coordinate omogeneeModifica

Tramite la base  , ogni vettore   di   è descrivibile tramite le sue coordinate, determinate dalla relazione

 

Le coordinate di   sono quindi  . È quindi possibile assegnare alla sua proiezione   le coordinate omogenee

 

Il fattore di arbitrarietà   nella scelta della base non influisce nel risultato: infatti la base   fornisce le coordinate

 

equivalenti alle precedenti, poiché omogenee.

Le coordinate omogenee dei punti   risultano essere quindi rispettivamente

 

EsempiModifica

Retta proiettivaModifica

In una retta proiettiva, un sistema proiettivo necessita di tre punti distinti   e  , le cui coordinate saranno quindi rispettivamente   e  .

Piano proiettivoModifica

In un piano proiettivo, un sistema proiettivo necessita di quattro punti   e  . Per ipotesi, tre di questi quattro punti non devono mai giacere su una stessa retta, cioè non devono essere allineati. Le loro coordinate saranno rispettivamente  ,  ,   e  .

Voci correlateModifica

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