Retta proiettiva

In matematica, e più precisamente in geometria proiettiva, la retta proiettiva è un'estensione della retta, ottenuta aggiungendo il "punto all'infinito".

Nel caso della retta reale, si distingue dalla retta estesa, che è ottenuta aggiungendo due punti all'infinito, uno per ogni verso: e .

A differenza della retta estesa, che è definita soltanto per i numeri reali, il concetto di retta proiettiva si applica poi su qualsiasi campo (ad esempio, il campo dei complessi), ed è la versione 1-dimensionale del concetto più generale di spazio proiettivo.

DefinizioneModifica

Una definizione informale di retta proiettiva, dipendente da un campo  , potrebbe essere data aggiungendo semplicemente un punto a  , chiamato "infinito" o  . Una definizione di questo tipo non mostra però come questo nuovo punto debba essere considerato nella nuova struttura: si sceglie quindi (come in tutti gli spazi proiettivi) una definizione più formale ed omogenea, apparentemente molto diversa, che considera subito tutti i punti allo stesso livello. Le due descrizioni arrivano quindi a coincidere al momento in cui si deciderà che un dato punto è "quello all'infinito".

QuozienteModifica

Sia   un campo. La retta proiettiva su   è definita a partire dal piano

 

rimuovendo l'origine   e quozientando per la relazione d'equivalenza

 

che identifica due punti ottenuti l'uno dall'altro tramite riscalamento per un fattore reale non nullo  . In altre parole, identifica tutti i punti presenti su ogni singola retta passante per l'origine, esclusa l'origine stessa. Formalmente:

 

Coordinate omogeneeModifica

Come in ogni spazio proiettivo, ogni punto della retta proiettiva è quindi identificato da una coppia di coordinate omogenee

 

dove si intende che moltiplicando entrambi i valori   e   per un numero   si ottiene lo stesso punto  :

 

Punto all'infinitoModifica

Usando queste coordinate, è possibile ricavare la descrizione più familiare di retta proiettiva come unione di una retta normale   e di un "punto all'infinito". Infatti

 

poiché a meno di riscalamento ogni coppia   può essere espressa unicamente in uno dei modi descritti. In questa descrizione, il "punto all'infinito" è  . Ogni punto della retta proiettiva può però essere identificato come "punto all'infinito" in una opportuna descrizione.

EsempiModifica

Caso realeModifica

Se   è il campo dei numeri reali, la retta proiettiva è ottenuta aggiungendo un punto all'infinito alla retta reale. Dal punto di vista topologico, lo spazio che si ottiene è una circonferenza.

Caso complessoModifica

 
La retta proiettiva complessa è la sfera di Riemann, ottenuta aggiungendo il punto all'infinito al piano complesso.

Il caso complesso risulta essere di notevole interesse in matematica e in geometria. La retta proiettiva complessa   è ottenuta aggiungendo un punto al piano complesso. Topologicamente, come si evince dalla proiezione stereografica, è una sfera, detta sfera di Riemann. La sfera di Riemann è un oggetto importante, che ha molti collegamenti con vari ambiti della geometria: è centrale infatti sia nella geometria proiettiva che nella differenziale.

Campi finitiModifica

La definizione è ovviamente valida anche nel caso in cui il campo   sia un campo finito, con   elementi. In questo caso, la retta proiettiva consta di   elementi.

Voci correlateModifica

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