Rodonea a 8 petali.

In geometria è detta rodonea la curva algebrica o trascendente il cui grafico è caratterizzato da una serie di avvolgimenti attorno ad un punto centrale. Nei casi più noti tali avvolgimenti producono figure a forma di rosone, da cui deriva alla curva il nome rodonea (dal greco rhódon, ròsa). La curva rodonea è chiamata anche rosa di Grandi da Luigi Guido Grandi, il matematico che la battezzò e studiò intorno al 1725.

La rodonea si può considerare un caso particolare di ipocicloide.

Equazione della curvaModifica

L'equazione delle rodonea in coordinate polari   è:

 ,

dove   è un numero reale positivo che rappresenta la massima distanza della curva dal centro degli avvolgimenti, e   è un numero reale positivo che determina la forma della curva. È possibile anche scrivere la rodonea come  , che produce una figura analoga, ma ruotata di un angolo pari a   radianti.

ProprietàModifica

 
Rodonee ottenute per valori diversi del parametro  

Se   è un numero intero, la curva ha un numero finito di avvolgimenti, tutti passanti per l'origine degli assi, che generano una serie di "petali" componenti la figura a forma di rosone; il numero dei petali è pari a:

  •  , se   è dispari;
  •  , se   è pari.

Osserviamo che non è possibile ottenere rose con un numero di petali pari a  . Per   si ottiene un unico petalo, ovvero una circonferenza non centrata nell'origine.

L'area della superficie racchiusa dalla curva è pari a   per   pari, a   per   dispari.

Se   è un numero razionale  , la curva ha un numero finito di avvolgimenti, che si intersecano in più punti creando una serie di petali parzialmente sovrapposti; nella figura a fianco sono visualizzate le rodonee ottenute per alcuni valori di   e  . Come caso particolare, per  , si ottiene il folium di Dürer.

In entrambi i casi precedenti, la curva ottenuta è algebrica; se invece   è un numero irrazionale, la curva è trascendente ed ha un numero infinito di avvolgimenti che non si chiudono e formano un insieme denso, passando arbitrariamente vicino a ogni punto del cerchio di raggio  .

BibliografiaModifica

  • (EN) Rhodonea Curves, in The MacTutor History of Mathematics archive, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. URL consultato il 16-07-2008.

Voci correlateModifica

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