Rodonea

In geometria è detta rodonea la curva algebrica o trascendente il cui grafico è caratterizzato da una serie di avvolgimenti attorno ad un punto centrale. Nei casi più noti tali avvolgimenti producono figure a forma di rosone, da cui deriva alla curva il nome rodonea (dal greco rhódon, ròsa). La curva rodonea è chiamata anche rosa di Grandi da Luigi Guido Grandi, il matematico che la battezzò e studiò intorno al 1725.

Rodonee ottenute per valori diversi del parametro $\omega ={\frac {n}{d}}$

Vari modi per la costruzione di Rose di Grandi. Animazioni realizzate in MSWLogo

La rodonea si può considerare un caso particolare di ipocicloide.

Equazione della curva

L'equazione delle rodonea in coordinate polari $(\rho ,\theta )$ è:

$\rho =R\sin \omega \theta$,

dove $R$ è un numero reale positivo che rappresenta la massima distanza della curva dal centro degli avvolgimenti, e $\omega$ è un numero reale positivo che determina la forma della curva. È possibile anche scrivere la rodonea come $\rho =R\cos \omega \theta$, che produce una figura analoga, ma ruotata di un angolo pari a ${\frac {\pi }{2\omega }}$ radianti.

Proprietà

Se $\omega$ è un numero intero, la curva ha un numero finito di avvolgimenti, tutti passanti per l'origine degli assi, che generano una serie di "petali" componenti la figura a forma di rosone; il numero dei petali è pari a:

• $\omega$, se $\omega$ è dispari;
• $2\omega$, se $\omega$ è pari.

Osserviamo che non è possibile ottenere rose con un numero di petali pari a $4n+2$. Per $\omega =1$ si ottiene un unico petalo, ovvero una circonferenza non centrata nell'origine.

L'area della superficie racchiusa dalla curva è pari a ${\frac {\pi R^{2}}{2}}$ per $k$ pari, a ${\frac {\pi R^{2}}{4}}$ per $k$ dispari.

Se $\omega$ è un numero razionale ${\frac {n}{d}}$, la curva ha un numero finito di avvolgimenti, che si intersecano in più punti creando una serie di petali parzialmente sovrapposti; nella figura a fianco sono visualizzate le rodonee ottenute per alcuni valori di $n$ e $d$. Come caso particolare, per $\omega ={\frac {1}{2}}$, si ottiene il folium di Dürer.

In entrambi i casi precedenti, la curva ottenuta è algebrica; se invece $\omega$ è un numero irrazionale, la curva è trascendente ed ha un numero infinito di avvolgimenti che non si chiudono e formano un insieme denso, passando arbitrariamente vicino a ogni punto del cerchio di raggio $R$.

Bibliografia

• (EN) Rhodonea Curves, in The MacTutor History of Mathematics archive, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. URL consultato il 16-07-2008.

Voci correlate

• Ipocicloide
• Figura di Lissajous

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