Serie di Mengoli

La serie di Mengoli, così chiamata in onore di Pietro Mengoli, è la serie definita come

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{20}}...$.

Questa serie risulta convergente a 1. Infatti si ha che la serie:

${\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}$

Abbiamo pertanto che

${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{k}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=&\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)=\\&=1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}\right)-{\frac {1}{k+1}}=\\&=1-{\frac {1}{k+1}}\longrightarrow 1{\mbox{, per }}k\to \infty .\end{aligned}}$

Risulta però interessante notare come ogni elemento delle successioni parziali si elimini con il termine successivo:

${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=\left({\frac {1}{1}}{\cancel {-{\frac {1}{2}}}}\right)+\left({\cancel {+{\frac {1}{2}}}}{\cancel {-{\frac {1}{3}}}}\right)+\left({\cancel {+{\frac {1}{3}}}}{\cancel {-{\frac {1}{4}}}}\right)+\cdots +\left({\cancel {+{\frac {1}{n-1}}}}{\cancel {-{\frac {1}{n}}}}\right)+\cdots +\left({\cancel {\frac {1}{n}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=1-{\frac {1}{n+1}}\end{aligned}}$

di cui il limite risulta essere:

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n+1}}\right)=1\end{aligned}}$

Inoltre non è possibile spezzare la sommatoria nella differenza di due serie:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}$

poiché queste sono serie armoniche, ciascuna divergente.

La serie di Mengoli costituisce un esempio classico di serie telescopica.

Voci correlate

• Serie
• Serie armonica
• Serie telescopica
• Serie geometrica