L'espressione "serie telescopica" è un termine informale con cui si indica una serie
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a010b685126d19bf411b78ce6b1e748e294afe)
i cui termini appaiono nella forma
![{\displaystyle a_{k}=A_{k+1}-A_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3023ee9d1853a919a6608838b04de2353a43438d)
in questo caso le somme parziali si possono esprimere come differenza del primo e ultimo termine della successione
:
![{\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}(A_{k+1}-A_{k})=({\cancel {A_{2}}}-A_{1})+({\cancel {A_{3}}}-{\cancel {A_{2}}})+({\cancel {A_{4}}}-{\cancel {A_{3}}})+\cdots +({\cancel {A_{n}}}-{\cancel {A_{n-1}}})+(A_{n+1}-{\cancel {A_{n}}})=A_{n+1}-A_{1}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcfa5c6ff9b2f31e315882c152f867c85affc06d)
e il calcolo della serie si riduce al calcolo del limite della successione
, dato che, a questo punto, risulta l'unica operazione non banale:
-
Si può dimostrare che la somma di questa serie è infatti
-
cioè si tratta di una serie telescopica con e quindi
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da cui si dimostra subito che se la serie converge a .